Bachue (Poema de Cristian Beltrán Barrero)

Bachue Poema de: Cristian Beltrán Barrero Madre de la etnia muisca sabias son tus enseñanzas en el tiempo perdurará tu nombre y en la pureza de las aguas vivirá tu espíritu Nos enseñaste a dominar el fuego nos llenaste de paz y tranquilidad 600 hijos fueron tu gran tribu y la grandeza de los Muiscas es tu legado El muisca te respeta  ........ porque te ve en la serpiente que silenciosa vigila  ....... y astutamente caza en la noche porque el muisca sabe ...... que aún cuando te hayas ido siempre estás con nosotros.

Análisis de John Ronald Reuel Tolkien

Análisis de John Ronald Reuel Tolkien Luego de haber leído las obras de Tolkien, los comentarios de aquellas personas que realizan sus críticas superfluas y pocos profundas sobre la literatura tolkiana solo me producen una gran decepción por su escrito ligero y carente de profundidad sobre la magistral obra del autor sudafricano, aun cuando esas críticas vengan de intelectuales que se hayan hecho algun nombre en redes sociales, mi decepción.  Y no me siento decepcionado porque una mujer haya venido a tratar de derribar a otro "ídolo machista, patriarcal y supremacista", sino porque otra vez me ha quedado claro que, una de las grandes taras del ser humano es la incapacidad de reconciliarnos.  Atacar y acusar a un hombre ya muerto, y que por lo tanto no puede defenderse, y con el agravante de obviar su historia, el contexto en el que vivió y creció, el mundo que le tocó, me parece de lo más pusilánime.  Y quiero empezar por decir que la crítica de la columnista se basa en una reinterpretación de la obra original, la trilogía del Señor de los Anillos dirigida por Peter Jackson. Primero que todo, el Señor de los Anillos apenas es una parte del gran universo tolkiano, que también se compone del Hobbit, el Silmarillion y del Libro de los cuentos perdidos. Segundo, toda la obra tolkiana supera las mil páginas, por mucho, mientras que las películas de Jackson si acaso se acercan a las nueve horas, todas juntas, y nadie jamás leyó un libro de más de mil páginas en nueve horas.  Ahora me paso al renglón del susurro, pues dice la columnista que todo el rol de las mujeres, en la obra de Tolkien, reinterpretada por Jackson, se limita a un "susurro", el de Arwen a Frodo para darle valor, demostrando su nulo conocimiento de la obra, de los libros de Tolkien y del simbolismo de Arwen y de ese susurro en particular. Arwen, ella misma, es descrita como el susurro sanador del bosque elfo, y sus apariciones, partiendo de ese mito, siempre son para darles valor a los guerreros y a las guerreras que enfrentan el mal absoluto que amenaza a la tierra.  El nulo conocimiento de la obra literaria de Tolkien, por parte de la señora De la Torre, queda en evidencia cuando omite la participación en la obra de Lady Galadriel, que por lejos es el personaje más poderoso de la saga del Hobbit y el Señor de los Anillos, la única capaz de expulsaron a Sauron de la tierra media, la única capaz de darle luz al mundo. No participa en la guerra de los hombres porque a esas alturas de la obra ya los elfos han tomado la decisión de apartarse y dedicarse a cuidar los bosques, porque sienten que también los hombres se han contaminado por la ambición del poder absoluto, y muy pocos de ellos en realidad buscan la paz.  Sin embargo, si la señora De la Torre tiene mucha pereza de leer los libros, que al menos mire la otra trilogía de películas sobre la obra, El Hobbit, donde Galadriel pelea con Sauron y salva a Gandalf, dándoles la ventaja a los enanos y a los hombres para que puedan derrotar a los orcos.  En El Hobbit  también aparece Tauriel, una guerrera elfa que se niega a abandonar a los hombres y a los enanos en su lucha, uniéndose a la batalla con indómita valentía. Tauriel vence a cientos de orcos con su arco, su espada y sus propias manos. También en El Hobbit, en la Batalla de los tres ejércitos, son las mujeres quienes salvan la aldea de los hombres, cuando la esperanza escasea. A la manera de las mujeres de la antigua Unión Soviética, que con palos, piedras y lo que tuvieran a la mano defendieron Leningrado de los Nazis, las mujeres saltaron a las calles en El Hobbit para enfrentar a los orcos hasta la muerte.  Volviendo al Señor de los Anillos, también se le olvida a la señora De la Torre nombrar a Eowyn, quien no se resigna a limitarse a su rol de "mujer del hogar", y con espada en mano se viste para la guerra y lucha, incluso, contra un Nazgul. Eowyn, al igual que Arwen, también les susurra a los hobbit que tengan valor y que luchen, sobre todo, por la amistad que los une.  En fin, en el libro también está Haleth, que lidera a toda una nación y se niega a casarse con un hombre para salvar a su pueblo, pues ella misma tiene la fuerza para defenderlo. También están las historias de Lobelia, de Melian, de Morwen y, una de las que más me  gustan, la de Yavanna y Varda, dos hermanas diosas, si no estoy mal, que le entregan a la tierra los regalos del sol y la luna para que el mundo jamás viva en la oscuridad.  Pero más allá de la obra, que no es más que una magistral narración fantástica, está el autor, un hombre nacido y criado en la Sudáfrica dominada por los afrikaners, unos racistas y supremacistas neerlandeses que le dieron origen al Apartheid. Tolkien creció en ese contexto, viendo como apartaban los negros de los blancos, y si la señora De la Torre se hubiera tomado el tiempo de rumiar en su biografía y en sus vastas epístolas, se habría dado cuenta que, al igual que su familia, nunca estuvo de acuerdo con el Apartheid, aunque tampoco hizo nada para remediarlo, aclarando que esa tarea no era su exclusiva obligación.  Tampoco le gustaba la guerra, y renegaba de ella cuantas veces podía, pese a lo cual tuvo que defender el Reino Británico en la Primera Guerra Mundial, durante la cual vio morir y sufrir a muchos compañeros y amigos.  Sus libros están cargados de vivencias personales, de referencias al mundo que le tocó vivir, un mundo que está a cien años de distancia de nosotros; un mundo colmado de colonias, de esclavitud, de reyes, reinas, condes, duques y líderes supremacistas y absolutistas. Un mundo en el que los negros y las mujeres no podían votar, y en el que el feminismo apenas era una semilla todavía oculta bajo la tierra.  El Señor de los Anillos, incluso, es una crítica a esos regímenes supremacistas y absolutistas, y por lo tanto, también es un llamado a la resistencia, a la preservación de la armonía entre quienes habitamos la tierra.  Todos los textos que hizo Tolkien durante su juventud fueron revisados por mujeres como Joan Blomfield, Dorothy Everett y Marjory Daunt, por voluntad del autor, quien las admiraba poderosamente y valoraba su sabiduría.  Pero bueno, el caso es que yo no vengo a defender a Tolkien y lo que hizo o dejó de hacer en vida. Lo que defiendo es la humanidad y la búsqueda de la verdad, la transparencia. No podemos seguir viendo el mundo a partir del sesgado lente de los bandos, y más bien, lo que tenemos que buscar es la reconciliación, y tratar de ser más comprensivos y menos jueces.  Tolkien vivió una época de guerras, guerras peleadas, en su mayoría, por hombres. Hombres las generaban y hombres las luchaban, aunque sin obviar que muchas mujeres jugaron papeles definitivos en las mismas, pero nunca negando que, en un noventa por ciento, fueron los hombres los que se reventaron las tripas en esas guerras que le tocaron a Tolkien.  Sin embargo, el toda la obra del sudafricano, en toda completa, no hay un solo personaje femenino malvado, ni uno solo. Se puede buscar y rebuscar y jamás se encontrará un personaje de género femenino malvado, detalle que debió resaltar la señora De la Torre. Y eso que Tolkien tuvo ejemplos, tuvo referentes para haber creado alguno, porque en esos tiempos de Apartheid y Ku Kux klan, hubo muchas mujeres horripilantes, asesinatos de niños, de judíos y de negros; mujeres malvadas, esclavistas, grotescas en todo sentido. Y ni qué decir de los nazis, donde cientos de mujeres, algunas tan sádicas como Ilse Koch, se encargaron de administrar campos de concentración y hornos crematorios  donde quemaron vivos a niños judíos y también quemaron a mujeres judías.  Me parece que revisemos y reescribamos la historia, y tampoco el arte, por ser arte, se debe salvar de esos temblores, lo que pido es que lo hagamos juntos, sin resentimientos, sin ese afán vengativo y separatista, pero que en últimas, no se nos puede olvidar que no somos mujeres, hombres, transgéneros; blancos, negros, rojos, amarillos; bajitos, altos o encorvados. No, somos seres humanos, con conciencia, con lenguaje, con historia y con sutiles aunque definitivas diferencias, pero en esencia seres humanos.  Si toca derrumbar los cimientos de nuestra cultura como seres humanos, pues se hace, pero con una motivación constructiva, como la de ese colectivo feminista que reescribió El Principito, de Saint Exupery, nombrando la obra como La Princesa y con un montón de personajes femeninos, aunque sin destruir el mensaje de la obra original, y tampoco juzgando al autor de machista o supremacista.  Hay que dejar de ver el mundo con esos prismas sesgados y revanchistas que lo único que están logrando es desunión, porque la verdad y la razón, no son exclusivas de los blancos, de los negros, de las mujeres o de los nazis, la verdad y la razón son exclusivas de los hechos, revelan como pequeños colibríes entre escombros y jardines, entre lápidas y ranchos olvidados.  Llamemos a las cosas por su nombre, cuando toque, y dejemos de depositar la maldad o la bondad a conveniencia, porque tan malos y horribles hemos sido hombres y mujeres por parejo; y tan malos o tan buenos  han sido todos los tiempos desde el primer hombre sobre la tierra.  Comprendernos, comunicarnos y reconciliarnos, ese es el camino, de lo contrario, siempre estaremos presos en esa espiral repetitiva de hechos execrables.  Más que atacar a Einstein, rescatemos a Mileva; antes que escribir diatribas sobre Aristóteles, reconozcamos a Hipatia; y si para llamar la atención nos vamos a quejar de la ausencia de mujeres heroicas en la obra de Tolkien, ¿por qué no mejor ponemos la lupa en la total ausencia de personajes femeninos malignos? En fin, que vengan los ataques sobre mí, qué se le hace.

TRATADO SOBRE LA MATEMÁTICA JURÍDICA

TRATADO SOBRE LA MATEMÁTICA JURÍDICA Cristian Beltrán Barrero Las preguntas de investigación son: ¿Podemos mejorar la eficiencia del sistema jurídico Colombiano si incentivamos la creación e investigación en un nuevo campo de estudios entre la matemática y el derecho (matemática jurídica)? ¿Podemos predecir (como en el estudio estadístico) las leyes futuras del campo jurídico  mediante la modelación matemática? ¿Podemos predecir las decisiones de los jurados con base en las leyes existentes en el campo jurídico de acuerdo a un modelo matemático (estadísticas del campo jurídico)? ¿Puede las matemáticas convertirnos en mejores abogados? ¿Por qué la matemática debe unirse al campo jurídico y crear un nuevo campo multidisciplinario? ¿Es realmente útil para la humanidad el que la matemática y el campo jurídico se unan? La necesidad de hacer esta tesis (lo que se quiere lograr) Que la universidad nacional de Colombia acepte la creación de un campo multidisciplinario llamado "matemática jurídica" como parte del pensum Que la universidad nacional incentive la investigación y desarrollo de las matemáticas en el campo jurídico Que se publiquen artículos, libros y ensayos sobre el tema con una fuerte dosis de investigación conceptual y experimental. Que el sistema jurídico Colombiano alcance una mayor eficacia y eficiencia en cuanto a la aplicación de las leyes si se incentiva la creación de un campo de estudios multidisciplinario entre la matemática y el derecho Tesis: El sistema jurídico de una estado nación lograría ser más eficiente si se incentiva la adopción de un nuevo campo de estudios entre la matemática y el derecho (matemática jurídica)  Argumentos: Puede predecirse con el análisis estadístico de la jurisprudencia cuales van a ser las decisiones futuras en ciertos casos con ciertas circunstancias en particular de acuerdo a la normatividad vigente. Puede predecirse con modelos matemáticos cuales son las leyes necesarias para un sistema jurídico, eliminando aquellas que sean excluidas del modelo y/o que estén por debajo del sesgo estadístico o creando otras que realmente sean necesarias (comportamiento jurídico). Pueden analizarse las variables de eficiencia de la legislación ya sea en el acto legislativo propiamente dicho, en la autoridad (jurisprudencia) en los procesos, en los resultados o en la sociedad mediante el proceso de diagramación y estructuración matemática (análisis matemático de variables).  Al codificar el lenguaje jurídico los procesos son más ágiles, tanto en el ámbito de la creación de las leyes (legislatura) como en el de la decisión (jurisprudencia). Contra Argumentos: Las teorías probabilísticas sobre jurisprudencia y legislación son especulativas, no se puede comprobar mediante formulación sino mediante experimentación esto significa un riesgo para toda democracia y no puede someterse la nación a un “experimento”.  Aunque se integre la matemática jurídica no es garantía de una mejora en la eficacia del sistema jurídico, por lo tanto es un desgaste inútil adelantar estudios en el campo.  Conclusión: La universidad nacional de Colombia debe incentivar la creación de un campo multidisciplinario de estudios entre la matemática y el derecho para mejorar la calidad del sistema jurídico Colombiano  El sistema jurídico de una estado nación lograría ser más eficiente si se incentiva la adopción de un nuevo campo de estudios entre la matemática y el derecho (matemática jurídica)  INTRODUCCIÓN Las matemáticas son el soporte de todas las ciencias, de todas las formas de conocimiento concebidas por el hombre incluyendo las artes, l ciencia e inclusive la misma filosofía. Son el único campo de conocimiento absoluto objetivo e invariable que ha conocido el ser humano, en mi opinión sus verdades son certeras y permanentes a diferencia de varias de las demás disciplinas de estudio.  Las matemáticas son uno de los mayores esfuerzos colectivos que el ser humano ha hecho a lo largo de toda sus historia (Eduardo Sáenz de cabezón) Todo lo que hace a la ciencia hacer ciencia es el rigor de las matemáticas, y ese rigor les viene porque sus resultados son eternos, las ciencias funcionan por intuición, por creatividad..... Y las matemáticas doman la intuición, doman la creatividad (Eduardo Sáenz de cabezón) Resulta tan maravilloso que las matemáticas trabajando dentro de todas las ciencias describen el universo que hay filósofos que discuten si fueron creadas por el hombre o más bien sus principios han sido descubiertos. 1. Puede predecirse con el análisis estadístico de la jurisprudencia cuales van a ser las decisiones futuras en ciertos casos con ciertas circunstancias en particular de acuerdo a la normatividad vigente. La estadística es la ciencia interdisciplinaria que se ocupa de la recolección, agrupación, análisis e interpretación de datos mediante el método científico y cuya pretensión es extraer conclusiones a partir de observaciones hechas. Estas conclusiones nos permiten modelar los patrones de comportamiento de la cosa observada, predecir con alto grado de fidelidad acontecimientos futuros dentro del mismo grupo de objetos que se observa y analizar las correlaciones entre los datos inclusive entre distintos grupos de cosas.  La jurisprudencia es un fenómeno del ordenamiento jurídico que vale la pena analizar como un conjunto de datos que pueden ser interpretados mediante su conversión en términos matemáticos. Pueden determinar entre otras cosas modelos matemáticos que describen el comportamiento jurídico en cifras, con fines puramente estadísticos y por tanto científicos.  Si analizamos la jurisprudencia en cifras podemos hacer inferencias (predicciones) sobre los resultados de las decisiones judiciales en el futuro, este sistema no es nuevo pero es inusual en un sistema jurídico formalista a priori como el nuestro (Colombia). En los sistemas legislativos típicamente a posteriori como el realismo norteamericano es diferente puesto que la fuente del derecho es la jurisprudencia misma, por lo tanto conocer las estadísticas de cómo fallan los jueces en todos los casos concernientes o similares al proceso actual que lleva el abogado es de suprema importancia, puesto que entre más se conocen los antecedentes más son precisas las predicciones sobre cómo se va a fallar en un cierto caso. En los sistemas legislativos a priori basado en la norma, el juez es solo un elemento de decisión y coacción final que no puede ser de ninguna manera la fuente del derecho (el origen de las leyes no reside en el juez) y es aquí donde puede presentarse la mayor dificultad en aplicar la estadística jurisprudencial, en primer lugar porque el juez es solo un elemento que forma parte de un gran conjunto y está en todo momento subordinado al imperio de la ley, en segundo lugar porque aunque se conocieran las estadísticas no tiene sentido puesto que la fuente del derecho es la norma misma y no el juez. Con respecto a la primera postura aunque es cierto que el juez se subordina al imperio de la ley, conocer la ley es en sí mismo una predicción de la decisión del juez, por esto mismo sigue siendo igualmente útil conocer las estadísticas jurisprudenciales, no solo porque la ley escrita no es suficiente sino porque es el juez quien hace la interpretación de la misma y según las leyes de las matemáticas siempre tenderá a comportarse a interpretar la ley de una determinada manera, es allí donde vale la pena hacer el análisis de la jurisprudencia entorno a la legislación.  En segundo lugar la ley por sí misma no nos dice cómo debe ser interpretada, y aunque el juez no es la fuente del derecho sí coaccionador y cursor del mismo, todo acto jurídico es a su vez un acto de aplicación/creación de la ley, por lo tanto el acto jurídico en sí mismo es también un acto legislativo. Para el caso de los actos de aplicación pura de la ley predecir cómo esta va a ser aplicada sólo es posible si se han analizado las variables estadísticas.  2. puede predecirse con modelos matemáticos cuales son las leyes necesarias para un sistema jurídico, eliminando aquellas que sean excluidas del modelo y/o que estén por debajo del sesgo estadístico o creando otras que realmente sean necesarias (comportamiento jurídico). La modelación matemática es la habilidad de poder predecir un fenómeno mediante las matemáticas, que son a su vez la ciencia que nos permite a) conocer lo que no puede ser conocido mediante la experimentación ni observación b) interpretar los datos obtenidos mediante una observación y/o un experimento. En general existen 3 métodos para conocer la realidad; el primero de ellos es la observación directa y experimentación típica de las ciencias fácticas y de aquellas en las que el fenómeno se puede experimentar, el campo del derecho es una de ellas, la segunda forma es la observación a distancia y la inferencia de datos para aquellas en las que no es posible experimentar (como en el observamiento de astros en donde no es posible la experimentación) y la tercera es la forma más pura de conocimiento que solo es plausible para aquellos datos que no pueden ser observados y mucho menos experimentados, las matemáticas, como conocer por ejemplo la composición del centro de la tierra o de un agujero negro.  La ciencia ha permitido el desarrollo de ingeniosos mecanismos que nos permiten conocer lo desconocido, el campo del derecho es una disciplina capaz de interactuar con otras ciencias, como la sociología jurídica, la psicología jurídica, la antropología jurídica, la economía e inclusive la estadística como ya le hemos demostrado antes entre otras; y estas interdisciplinar son los “mecanismos” o herramientas científicas que nos permiten conocer mejor lo “desconocido” en el campo del derecho y por lo tanto permitir una aproximación científica.  El objetivo de crear modelos matemáticos que es la forma más pura de conocimiento en un acto de “creación” pura de la ley no es ingenuo, por el contrario es visionaria. Como ya hemos dicho todo momento jurídico o acto judicial es un acción de creación/aplicación de la ley por el sencillo fenómeno de la “interpretación” propia de cada juez o autoridad (policía, juzgado, etc.) en algún momento existe un acto de pura aplicación (coacción) y de la misma forma existe en el origen de la cadena un acto de “creación”. Modelar matemáticamente el acto de creación pura de la ley es entonces una simple conclusión o análisis del acto de creación legislativo propiamente dicho (es inherente al acto de crear) en términos matemáticos. La acción de codificar es un acto de modelamiento, se transcriben las normas a un lenguaje común para poder ser divulgadas, esto no está lejos de asemejarse en gran medida a un modelo matemático si entendemos que todo sistema de códigos es un sí matemática pura, y esto incluye al lenguaje.  Los métodos que designen los matemáticos futuros y los códigos son libres (como todo en la matemáticas) pero el objetivo sigue siendo el mismo: “modelar el acto legislativo”, no es otra cosa que “codificar las leyes”.  Un segundo punto importante además de la modelación es la “confrontación entre el código y la realidad”, esto sólo puede hacerse mediante la experimentación es decir “poner a prueba” la funcionalidad del código (no de la codificación sino de lo que es codificado). El derecho siempre estará sometido a la experimentación por el simple  hecho de ser un sistema de códigos humanos para los humanos.  Esta experimentación pone a prueba la “eficacia” de las normas y por lo tanto la eficiencia del sistema legislativo, la sociedad en sí misma es un enorme laboratorio en el que se “experimenta” la funcionalidad del acto legislativo de creación pura del derecho. A diferencia de las leyes de la naturaleza (de la física) que no pueden ser alteradas por voluntad humana como la gravedad o la velocidad de la luz, las leyes humanas están sometidas  criterio social e inclusive individual siendo susceptibles de ser alteradas a conveniencia de cada comunidad, grupo social e inclusive de cada quien, pero entonces ¿que garantiza la eficiencia del acto legislativo? la respuesta es la modelación matemática que nos ofrece esa garantía que no puede ser obtenida mediante ninguna otra forma de aproximación.  Hemos expuesto algunas de las formas de aproximación científica al campo del derecho; la interdisciplinariedad con otras ciencias, el modelamiento matemático y por supuesto el estudio estadístico que también puede ser aplicado al acto legislativo. Evaluar estadísticamente que leyes son eficientes y cuáles no es un simple acto de “coherencia jurídica” que nos permite examinar las fallas y los aciertos obtenidos en la realidad producto de la interacción entre la sociedad, la autoridad y la norma.  3. pueden analizarse las variables de eficiencia de la legislación ya sea en el acto legislativo propiamente dicho, en la autoridad (jurisprudencia) en los procesos, en los resultados o en la sociedad. Todo conocimiento científico tiene su origen en un fundamento matemático, la ciencia en sí misma es un “conjunto de conocimientos ordenados” independientemente de si estos son obtenidos mediante observación, experimentación o razonamiento. El derecho es un campo interdisciplinario de estudios (conocimientos) en el que se han planteado teorías propias, desarrollos avances y toda una cantidad de sucesos históricos que vale la pena entrar en detalle, todos surgidos de la pregunta ¿cómo ordenamos a la sociedad?......y de ellas ¿cómo nos convertimos en mejores seres humanos? ¿Cómo podemos convivir entre nosotros?  A diferencia de lo que se cree, si analizamos en contexto el método científico ha estado implícitamente involucrado en el campo de estudios del derecho, y por lo tanto el derecho se ha nutrido, cambiado y evolucionado de todos los resultados obtenidos por el método científico en su largo devenir histórico.  Esta experimentación científica natural (no artificial) ha permitido la creación/aplicación de nuevos conocimientos en el campo del derecho, se ha convertido en el canal más importante en la búsqueda de nuevos conocimientos (en el campo del derecho y las ciencias interdisciplinarias directamente vinculadas a su estudio) porque en últimas el laboratorio de experimentación es la sociedad misma y las condiciones son la realidad sin alteraciones tal como es.  Este desarrollo histórico del derecho nos permite establecer hoy una multifuncionalidad del campo jurídico más allá de establecer, crear/aplicar leyes o la coacción entre otras abordando temas de carácter social, psicológico, antropológico, estadístico, económico entre otros como funciones del derecho logrando una visión global, más amplia y fortalecida de toda una disciplina del conocimiento que merece la pena convertirse en ciencia de estudio.  Identificar las variables de estudio de una disciplina es el primer procedimiento para convertirlo en ciencia, permite establecer una cadena lógica de sucesos que pueden ser expresados de manera matemática y como consecuencia ser analizados en términos de “cifras y resultados” que es el idioma convencional de entregar resultados.  Es aquí donde las matemáticas deben ser tenidas más en cuenta que antes, algunos pueden argumentar que debido a que la sociedad es el laboratorio de experimentación natural de las ciencias humanas, un sistema jurídico/legislativo no puede arriesgarse a “experimentar” qué leyes van a ser o no aceptadas o evaluar la “eficiencia” de las normas que ya están funcionando, pero esto es falso por la sencilla razón de que quieran o no analizar en términos matemáticos de los resultados obtenidos en la realidad, la realidad es que los códigos deben ser aplicados quieran o no analizarlos, por lo tanto el análisis no pone en peligro o en entredicho el riesgo de aplicar/no aplicar la norma sino que es un resultado del simple acto de aplicar dicha norma, por lo tanto no es un argumento relevante.   4.  al codificar el lenguaje jurídico los procesos son más ágiles, tanto en el ámbito de la creación de las leyes (legislatura) como en el de la decisión (jurisprudencia). Las matemáticas no solo deben ser aplicadas a la jurisprudencia y la legislación como hemos mencionado antes, sino también al propio “proceso” jurídico, a las acciones intermedias entre la legislación y la jurisprudencia y a la sociedad misma. En esta parte me ocuparé de la aplicación de las matemáticas al “lenguaje jurídico”  entendiendo las matemáticas y al lenguaje ambos como sistemas de códigos es factible realizar analogías válidas entre ambos. La conjetura que planteo es que el código del lenguaje puede ser optimizado  mediante la aplicación del código de las matemáticas. Un ejemplo de esto es la encriptación, pero no quiero ahondar en eso sino en la optimización del mensaje y específicamente del mensaje en los textos jurídicos en donde si se aplican las matemáticas para dar a entender un mensaje este no solo va a ser más eficiente sino que puede ser codificado en términos matemáticos.  Debemos entender que las matemáticas no son solo números, las matemáticas también estudian entre otras cosas las relaciones lógicas sobre la estructura, el espacio, el cambio, la cuantificación y codificación al punto que resulta innegable  como la matemática es lo que convierte a la ciencia en ciencia y no en otra forma de conocimiento.  En este orden de ideas el código matemático al ser el idioma más sencillo descubierto hasta el día de hoy permitirá optimizar la eficiencia del mensaje en el texto, y para este caso en los textos jurídicos, pero cabe hacerse la pregunta ¿cómo planteas aplicar el código matemático en el lenguaje?--- muy simple:  Optimizando el mínimo de palabras y sinónimos para un mensaje; es sentido común,  la velocidad de lectura promedio de una persona está alrededor de 4 palabras por segundo, que casualmente es la cantidad promedio de palabras que puede pronunciar alguien mientras habla, en este orden de ideas un mensaje que se exprese en X1 cantidad de palabras tardará X2 cantidad de tiempo en leer y decir el mensaje, y por lo tanto en interpretarlo, si X1 puede ser menor entonces X2 en una correlación directa también será el menor tiempo posible de lectura - comunicación e interpretación del mensaje. Eligiendo solo una palabra para describir cada cosa: evitar el uso de descriptores de la misma realidad (demasiados sinónimos) se establece un precedente (un código) para cada objeto, cosa o concepto mencionado en el mensaje, por lo tanto la velocidad de interpretación del mensaje, de lectura y de escritura es mayor. Las teorías probabilísticas sobre jurisprudencia y legislación son especulativas, no se puede comprobar mediante formulación sino mediante experimentación esto significa un riesgo para toda democracia y no puede someterse la nación a un “experimento”.  La estadística es una disciplina predictiva con precisión [cabe hacer la aclaración entre precisión y exactitud], como ya lo hemos mencionado antes si entramos al rigor de utilizar únicamente lo objetivo y dogmático no se efectuaron avances en ningún otro campo del conocimiento, ni en las artes, ni en la filosofía, ni en ninguna otra ciencia que pueden imaginar puesto que todas trabajan sobre especulaciones.  Este contra argumento plantea entre sus líneas su propia solución, puesto que como él mismo expresa “solo se puede comprobar mediante la experimentación” y esto es en últimas darle la razón al método científico que  es una de las posturas que hemos sostenido a lo largo del presente ensayo.  En efecto la estadística y la probabilidad trabaja con “especulaciones” ¿pero no lo hacen así todas las ciencias?, trabajar con expectativas lejos de estar mal es una de las forma más adecuadas de aproximarse a lo desconocido mediante las matemáticas, las especulaciones estadísticas lejos de ser meras percepciones son los resultados lógicos obtenidos mediante el cálculo y análisis de los datos obtenidos.  La sociedad es en sí misma un inmenso laboratorio de experimentación, este laboratorio es natural (es decir el que se da en la realidad sin alteraciones y sin la intervención de la mano humana) así como la biología (y otras ciencias naturales)  se acercan al conocimiento de su objeto de estudio mediante la observación del entorno en su ambiente real, las ciencias sociales hacen lo mismo mediante la observación de la sociedad.  Por otra parte están los laboratorios artificiales o controlados que son aquellos en donde existe intervención de la mano humana, la sociedad puede dependiendo del investigador y de su método investigativo  ubicarse en una u otra categoría; en este laboratorio las condiciones son alteradas para observar las consecuencias (efecto) de esta alteración y establecer leyes o teorías sobre el tema de estudio bajo estas condiciones.  En todo momento se quiera o no se está en un proceso continuo de creación/aplicación de la ley, es decir en una interacción continua entre la legislación y la jurisprudencia y por lo tanto todo el tiempo se observe o no funciona sin alteraciones la sociedad, en últimas el inmenso laboratorio social del que dispone el derecho para su estudio.  El análisis de los fenómenos que ocurren en la realidad no tiene por qué afectar el acto de creación/aplicación de la ley (legislación/jurisprudencia) y mucho menos la “democracia” pues no se está planteado dejar al estado sin leyes sino simplemente “analizar” el resultado de las mismas y su aplicación en la sociedad, por lo que este contraargumento no es plausible y está altamente infundado, o por lo menos NO en verdades objetivas.  Aunque se integre la matemática jurídica no es garantía de una mejora en la eficacia del sistema jurídico, por lo tanto es un desgaste inútil adelantar estudios en el campo. Las matemáticas en efecto no pueden garantizar la fragilidad de las decisiones humanas porque no corresponde al campo de estudio de las matemáticas obligar a los seres humanos a actuar o decidir de cierta manera o de otra, simplemente ofrecen un panorama anticipado de lo que puede suceder si se actúa o no de cada manera, pero sigue siendo la voluntad humana indiscutible en todo momento e inalterable aun con la existencia de las matemáticas o sin ellas.   En lo personal creo que los términos de “eficacia” y “eficiencia” son altamente subjetivos y por lo tanto su evaluación depende del cristal con que se mire; lo que para uno puede significar “eficiencia” no necesariamente debe ser lo mismo para todos. Sin embargo debo aclarar que si deben existir (por más subjetividad que haya) ciertos parámetros de medición que en su conjunto permiten establecer si existe o no lo que establece “eficacia” y/o “eficiencia” de otra forma no sería posible su codificación en términos matemáticos.  En este orden de ideas el modelado, la diagramación y las estadísticas matemáticas sí permiten establecer criterios de medición para establecer la eficacia y por lo tanto el solo hecho de establecer los criterios de medición codificados o no son un enorme garantía de la mejora del sistema jurídico en términos de eficacia y/o eficiencia.  A su vez con la codificación de los criterios de medición se establecen parámetros o “estándares” matemáticos surgidos del modelamiento y la diagramación matemática, y por supuesto analizados mediante la estadística.   Por ejemplo: Supongamos que un proceso jurídico desde la legislación hasta la jurisprudencia (origen al final) tiene X cantidad de procedimientos jurídicos desde la legislación de la norma hasta su ejecución en la jurisprudencia, el acto en cuestión que es discutido, etc  Y cantidad de actores desde el legislador, el actor o sujeto de derecho, los jueces, abogados y todos los integrantes de la ciencia del derecho, Z cantidad de variables y datos adicionales como papeleo,burocracia, etc y cualquiera que no haya podido ser clasificado en las categorías anteriores…...entonces: Si se puede reducir X al mínimo número de procedimientos desde la legislación hasta la jurisprudencia cada una con un tiempo T promedio, al final el proceso jurídico habrá reducido su tiempo T en la misma proporción que X redujo la cantidad de procedimientos (movimientos) y por lo tanto el procedimiento jurídico podrá ser evaluado en términos de eficacia y/o eficiencia.  Si se puede reducir Y a la mínima cantidad de personajes que intervienen en el proceso jurídico desde la legislación hasta la jurisprudencia, cada uno con una cantidad de documentos N expedidos por o para cada personaje entonces reduciremos la cantidad de papeleo y de mensajes (que no van destinados a nadie) durante el proceso jurídico y aquí podemos evaluar la eficacia/eficiencia del proceso jurídico en cuanto a burocracia, agilidad, papeleo, etc.  Si podemos reducir Z cantidad de variables no clasificadas, no solo el tiempo, la burocracia que hemos mencionado anteriormente sino específicamente en este la “percepción” de confianza y seguridad de la sociedad en el sistema jurídico aumenta: Z  que representa variables no clasificadas tiene una relación inversamente proporcional con la “percepción” de confianza y seguridad de la población en el sistema judicial, más específicamente en el proceso jurídico desde la legislación hasta la jurisprudencia.  CONCLUSIONES La Universidad Nacional de Colombia debe incentivar la creación de un campo multidisciplinario de estudios entre la matemática y el derecho para mejorar la calidad del sistema jurídico Colombiano. Se puede demostrar que las matemáticas son la base de todo conjunto de conocimientos ordenado y organizado; por lo tanto en el campo de estudios del derecho debe existir necesariamente la aplicación matemática. El derecho es un campo de estudios interdisciplinarios sin embargo la aproximación científica al estudio del derecho a estado subordinado a otras ciencias y no al derecho mismo, dejando al derecho relegado de hacer esta aproximación. El derecho es una disciplina de experimentación social, en muchos aspectos similares a ciencias fácticas, a las ciencias humanas y sociales, vale la pena el esfuerzo de convertir al campo del derecho en una ciencia puesto que es permeable la aplicación del método científico, podemos tomar como ejemplo la economía, la sociología, la estadística, la psicología entre otras. Las matemáticas permite la construcción de teorías, de modelos, de conjeturas y teoremas con un grado de verdad absoluta, la aplicación al derecho es solo una consecuencia de intentar descubrir aquellas teorías que se nos escapa de nuestro conocimiento quizás porque no hemos intentado otro método de aproximación a la realidad o a los fenómenos del derecho que el aprendizaje memorístico de códigos y reglas pero sin evaluar o interpretar los datos de aplicación de estas mismas en la sociedad.

TRATADO SOBRE SUMATORIAS

TRATADO SOBRE SUMATORIAS Cristian Beltrán Barrero Era aún muy joven; casi un niño tenía apenas 7 años cuando descubrí una manera de hacer sumatorias de números sin necesidad de sumarlos individualmente. A diferencia de Gauss no fue por un castigo del profesor sino por iniciativa propia en esa necesidad insaciable de hacer operaciones matemáticas. Mi padre me hacía aprenderme las tablas de multiplicar del 1 al 10; luego del 11 al 20 y luego hasta el 100; aún tenía apenas 4 años y entraba a 1° de primaria, ya sabía realizar las 4 operaciones básicas, a saber suma, resta multiplicación y división; a los 5 años pude deducir por mi cuenta como sacar raiz cuadrada y había descubierto por mi cuenta los triángulos de pascal que me darían la fórmula para extraer la raíz enésima de cualquier número, y sin saberlo estaba haciendo operaciones algebraicas de grado mayor a dos. Mi espíritu investigativo me llevó a varios campos; en ocasiones hacía rodar llantas y objetos de distinta forma por acantilados solo para poder medir su velocidad; pero aunque no tenía reloj, tenía que intuir la medida con una conteo arbitrario como llevando un pulso fijo, que había mecanizado varias veces y que aunque solo usaba variables discretas se aproximaba mucho a la medida real. A los 7 años pude darme cuenta por medio de mis experimentos que indistintamente del peso de un objeto todos caían al suelo a la misma velocidad, probé de la misma forma llenar varias botellas de vidrio que me encontraba con distintos niveles de agua solo para poder obtener sonidos distintos, así creé mi propia fórmula para poder calcular el sonido que daría una botella con relación a otra y crear instrumentos musicales por mi cuenta sin tener idea de conceptos como la afinación temperada  o la afinación pitagórica, pero ya había deducido por mi mismo la estrecha relación entre las matemáticas y la música. Este último experimento me llevaría finalmente por el camino artístico como músico y mi vocación como matemático [empírico] me encontraba calculando cuál sería la nota máxima de afinación para cuerdas de distinto calibre en función de su resistencia (como las de Nylon) su calibre (como las de acero) en una misma longitud; hallando las ecuaciones matemáticas para determinar cuál sería el encordado óptimo para mi guitarra, bajo, charango o instrumento que fuera. Del mismo modo me encontraba calculando cuál sería la longitud exacta para tubos huecos en función de su diámetro para que puedan dar un sonido en una afinación determinada y que otras longitudes en relación a esa obtendría sonidos que sean relación o función del sonido principal si los tubos eran del mismo largo.  Esto me llevó a ampliar mi escala musical de 96 semitonos [actual] a una escala hipotética de 168 semitonos en el que todos tienen una relación íntima y no existe ningún sesgo en la afinación.  Fraccionarios en la Escala Músical Sabemos que existen 7 notas musicales en la escala actual distribuidas en 12 semitonos; igualmente sabemos que la relación matemática entre la octava y la tónica es 2 a 1; es decir que para saber la frecuencia de una misma nota en su octava simplemente multiplicamos la tónica por potencias de 2.; así en la práctica cada vez que queramos encontrar la octava de una nota que da una cuerda o un tubo basta con dividir la longitud de la cuerda o tubo en potencias de 2 [2,4,8,16,32...] La relación entre una nota y su quitan justa es de 3; es decir la tercera parte de la longitud de una cuerda del mismo calibre o de un tubo del mismo diámetro dará como nota máxima la quinta justa de la nota máxima que afine el total de la cuerda o tubo; de esta forma cada vez que queremos encontrar una quinta justa basta con dividir la longitud entre potencias de 3 [3,9,27,81,243...] como saben las potencias de 2 y de 3 no son compatibles; es decir jamás se encuentran y esto ha generado complicaciones en cuanto a unir los dos sistemas de afinación. Sabemos que una octava (cuya razón las potencias de 2) se divide en 12 semitonos [porque existen notas que solo solo tienen un semitono en la escala; por ejemplo en la escala de do mayor que es la más común el mi y él si solo tienen 1 semitono] y que las quintas justas tienen 7 semitonos (cuya razón matemática son las potencias de 3). Ahora en una regla de 3 sencilla; si la quinta tiene 7 semitonos y la octava 12; la diferencia entre ambas (que es considerada como una 4° justa) es de 5 semitono; para que exista compatibilidad el total del espectro debe ser múltiplo del del mismo número de semitonos; esto es 12*7 = 84, sin embargo es menor al espectro utilizado de 96 semitonos; por lo que lo duplicamos y esto nos da 168 semitonos. ¿cómo debemos afinar, medir o cuantificar las notas? Para saber la longitud de una cuerda o tubo, el calibre [o resistencia por ejemplo en, libras de presión] de una cuerda, de un tubo hueco o la masa de un tubo macizo para poder tener todas las notas exactas debemos hacer las siguientes operaciones Indistintamente de la nota madre [que en nuestro ejemplo será Do]: Por octavas: 1° octava = 1/2 de la longitud; es decir queda libre 1/2 2° octava = 1/2 de la 1/2 que es la parte que queda libre; es decir 1/4 de la longitud; queda libre 1/4 3° octava = 1/2 de la parte que queda libre de la 2° octava, que es 1/4; es decir 1/8 de la longitud y queda disponible 1/8 de la longitud de la misma cuerda. Las partes que quedan libres siempre será potencias de la relación 1/2; esto se repite por 7 octavas para un espectro de 84 semitonos y 14 veces para uno de 168 semitonos, es decir [(1/2)^14] Por quintas: 1° quinta = 1/3 de la longitud; es decir queda libre 2/3  2° quinta = 1/3 de la parte que ha quedado libre de la longitu de la cuerda que es 2/3; es decir 2/9 y se han usado 1/3+2/9 = 5/9, quedan libre 4/9 3° quinta = 1/3 de la longitud que ha quedado libre de la parte anterior que es 4/9; esto es igual a 4/27 y se han usado 5/9 + 4/27 = 19/27 y quedan libre 8/27 las partes que quedan libres siempre serán potencias de la fracción 2/3; este proceso se repite por 12 quintas para un espectro de 84 semitonos y 24 veces para un espectro de 168 semitonos; es decir [(2/3]^24] ¿Cómo hacemos compatibles las potencias en base 2 y las potencias en base 3 de los sistemas de afinación por octavas y por quintas justas respectivamente? Aunque parezca muy evidente; la única manera de lograrlo es encontrar mínimos comunes divisores entre ambos; es decir múltiplos que además sean múltiplos de la cantidad de semitonos en cada sistema. El algoritmo es el siguiente:  1° organizar las fracciones de mayor a menor; de las partes que quedan libres para utilizar.  2/3 1/2 ..... 1/16384 16777216/282429536481 para la 1° quinta:  La 1° quinta que es = 1/3 del espacio disponible de la cuerda o tubo [1 - 2/3] debe ser dividido entre el número de semitonos que contienen una quinta justa, esto son 7 semitonos, así debemos tener una cuerda de longitud múltiplo de 3*7 = 21 unidades de medición; cada semitono ocupa un espacio de 1 unidad de medición.  1° octava El espacio disponible es 1/2 [1-/2] el total de longitud; de los cuales debemos usar 1/3 exactamente de la forma que describimos arriba; puesto que la quinta es menor a la octava y se ubica primero, el espacio disponible es la diferencia entre 1/2-1/3 = 1/6, este debe ser dividido entre la diferencia que hay entre la octava de 12 semitonos y la quinta justa de 7 semitonos; es decir 5 semitonos, por lo cual la longitud total debe ser múltiplo de 2*3*5*7=210 unidades de medición. La 1° quinta es 1/3 = 210/3 = 70 unidades de medición; y cada semitono = 70/7 = 10 unidades de medición. La 1° octava es 1/2 = 210/2 = 105 unidades la longitud total y 210/6 = 35 unidades la longitud entre la 5° y la 8°; cada semitono = 35/5 = 7 unidades de medición ubicados entre la 5° y la 8°. 2° quinta = 5/9 de la longitud total [respetando la distribución anterior] ya se han ubicado 5 semitonos dentro de la 1° octava por lo que solo resta ubicar 2 semitonos para los 7 semitonos de cada quinta justa; la longitud debe ser múltiplo de 2*2*3*3*5*7= 1260 unidades de medición [ solo si queremos que cada semitono ocupe una cantidad discreta de unidades de medición]; la 1° quinta ocupa 1/3 y cada semitono de la 1° quinta 1/21; la 1° octava ocupa 1/2 [1/6 entre la quinta y la octava]  y cada semitono 1/30 y los 2 últimos semitonos que completan la segunda quinta ocupan la diferencia entre 5/9-1/2 = 1/18; es decir 1/36 cada semitono. así si verificamos 1260 es múltiplo de 21, 30, y 36. 3° quinta =  19/27 de la longitud total; estas se ubican dentro de la segunda octava y no existen divisiones internas; la longitud total debe ser múltiplo de 2*2*3*3*3*5*7 = 3780 unidades de medición; la 1° quinta ocupa 1/3 = 1260 unidades de medición y cada semitono 1/21 = 180, la 1° octava ocupa 1/6 adicional a la quinta = 630 unidades [para un total de 1890 unidades que es = 1/2] y cada semitono [de la segunda quinta que queda dividida entre las octavas 1° y 2°] ocupa 1/30 = 126 los 2 semitonos de la segunda quinta ocupan 1/36 cada una = 105 unidades [210 en total para una suma de 2100 que es = 5/9] y la tercera quinta ocupa 4/27 = 560 para un total de 2660 unidades que suman 19/27; cada semitono de la 3° quinta ocupa 4/189 = 80 unidades de medición. 2° octava = 1/4 de la longitud total que se suma a 1/2 de la 1° octava para un total de 3/4 de longitud utilizada; se utiliza una longitud múltiplo de 2*2*3*3*3*5*7 = 11.340.  la 4° quinta solo resta usar 3 semitonos; puesto que de los 12 semitonos de la octava ya se han usado 2 para completar la 2° quinta, los 7 semitonos completos de la 3° quinta para un total de 9 semitonos y 3 de la 4° quinta para un total de 12 semitonos, estos 3 semitonos comprenden el espacio entre 3/4 - 19/27 = (81/108- 76/108) = 5/108, es decir 5/324 cada semitono, el resto de las distancias las mismas del enunciado 3  Sobre las sumatorias. Una sumatoria es el resultado de sumar consecutivamente números naturales; así la sumatoria de un número es por ejemplo [1+2+3+4+......+n] las sumatorias vienen representadas por una E mayúscula. Cuando apenas tenía 7 años deduje varias formas de hacer sumatorias de manera simple y me sentí apasionado desde entonces por este tema; pero a diferencia de GAUSS no fue por un castigo del profesor sino por vocación de mi propia curiosidad.  Existen varias formas de resolver sumatorias fácilmente; por ejemplo darse cuenta de que la sumatoria es simplemente el producto del valor máximo por su media aritmética, puede no significar mucho para los matemáticos expertos en el campo, pero es una gran logro para un niño de 7 años; esta media se obtiene sumando 1 al valor máximo [que resulta ser el valor mínimo] y dividiéndolo entre 2; así cualquier sumatoria podía ser resuelta sin ninguna dificultad aplicando esta sencilla fórmula. De esta forma sumatoria de X a la que llameros Q se establece de la siguiente manera: x = valor máximo del que se desea calcular el valor de su sumatoria [ es decir 1+2+3+4+5+6+....+x]  media = [x+1]/2 = y Q = [x]*[y] Ejemplo: Sumatoria de los números consecutivos hasta el número 2345 x = 2345; hallamos la media (Y) Y = [2345+1]/2 = 2346/2 = 1173 TOTAL DE LA SUMATORIA [Q] Q = 2345*1173 = 2.750.685 Desde luego siempre podemos comprobar a mano.... ????  El estudio de las sumatorias me ha llevado a plantear ecuaciones que describen el comportamiento de las sumatorias; y no me tomó mucho tiempo llegar a la siguiente expresión: Sumatoria de X [Q] = (X^2 + x)/2 Ejemplo: Podemos comprobar la sumatoria anterior: X = 2345 para esta ecuación no es necesario hallar su media aritmética; por lo que podemos desarrollarla solo con el valor de X [Q] = {[(2345^2)+2345]/2} [Q] = [(5499025 + 2345)/2] [Q] = (5501370/2) [Q] = 2.750.685 y como hemos visto tenemos una comprobación de ambos métodos.  Estas ecuaciones son válidas para todos los valores, cualquier sumatoria de números puede calcularse por medio de estas ecuaciones. ¿como saber que cantidades son productos de una sumatoria? Inicialmente pensaba que sólo ciertas cantidades eran producto de una sumatoria; ahora podemos demostrar que cualquier cantidad puede expresarse como resultado de una sumatoria; y esto es válido para todos los números reales. para poder comprobarlo he desarrollado algoritmos de aproximación para demostrar este teorema; al igual que he adaptado las ecuaciones algebraicas existentes para polinomios de 2°, 3°, 4° y 5° grado, entre otros mecanismos matemáticos.  Algoritmos para saber si un número puede ser obtenido por medio de una sumatoria Inicialmente haci uso de un algoritmo sencillo para determinar qué valores eran producto de una sumatoria; sin embargo este algoritmo no es exacto y solo permite tener una aproximación del valor real; aun así es sumamente eficiente y práctico, razón por la que no es descartado, pues su eficiencia procedimental permite hacer cálculos rápidos y aproximaciones muy cercanas al valor real del valor real X. El algoritmo consiste en establecer una cantidad [Q] de la que quiero saber si es resultado de una sumatoria luego multiplicar esta cantidad por 2; obtener la  raíz cuadrada de este valor y luego restar 1/2. [2Q]^1/2 = [V0] [V0] - 1/2 = [V1] [V2] = aproximación al entero más cercano El algoritmo permite un resultado muy aproximado del valor X con un pequeño sesgo [que es muy molesto para nosotros los matemáticos acostumbrados a los valores exactos] sin embargo me permitió desarrollar luego las ecuaciones correspondientes.  Dentro de las fallas del algoritmo está que en ocasiones los productos no tienen raíces exactas por lo que solo se basa en aproximaciones; y una cuando la raíz es exacta siempre existe un sesgo en la aproximación.  Por otra parte, la eficiencia del algoritmo se encuentra en que permite hacer cálculos rápidamente y esto es bastante útil; además la aproximación es muy cercana al valor [X] que buscamos.  El límite del valor real es raiz de 2; es decir si dividimos la cantidad X [que es valor de la cual obtenemos la sumatoria Q] entre la raíz de [Q] el límite en el al infinito es raiz de 2; por lo que algoritmo se basa en el concepto de límite y no es una conjetura. lÍMITE DE {X/ (Q = )^1/2} = 2^½   y esto es así para todas las sumatorias Comprobación del algoritmo y del límite.  Así por ejemplo una cantidad Q = 210 puedo calcular si es producto de una sumatoria o al menos aproximarse a este valor por medio de este algoritmo:  {2[210]}^1/2 = {420}^1/2 = 20,493901531919196766442077361042 [V] = 20,493901531919196766442077361042 - 1/2 [v1] = 19,993901531919196766442077361042 [v2] = 20 El siguiente paso del algoritmo es utilizar la cantidad entera más cercana; es decir en este caso [y en la gran mayoría] realizamos una aproximación por exceso.  (20^2 + 20)/2 = (400 + 20)/2 = 420/2 = 210 y como hemos visto el algoritmo me permite establecer una aproximación muy precisa.  Ecuaciones: Las ecuaciones siempre son tan bienvenidas como los algoritmos; si los algoritmos representan una serie de pasos la ecuación es la estandarización de los algoritmos más eficientes; la ecuación para determinar si un número es resultado de una sumatoria de primer grado se obtiene modelando a nuestro beneficio la típica ecuación de 2 grados: {-b (+o-) [(b^2)- 4ac]^1/2}/2a Sabemos que nuestra fórmula es: (x^2 + x)/2 = Q (resultado de la sumatoria) Factorizando para eliminar el denominador 2: 2(x^2 + x)/2 = 2Q  x^2 + x = 2Q  igualando a 0 x^2 + x - 2Q = 0 al reemplazar los coeficientes: a =1 b = 1 c = -2 tenemos: {-1 (+/-) [(1^2)-4*1*-2]^1/2}/2*1 -1/2 (+/-) {[1 + 8Q]^1/2/2} de este solo tomamos el valor positivo que es el que nos interesa: -1/2 + {[1 + 8Q]^1/2/2} y podemos establecer las siguientes igualdades: todas las sumatorias al multiplicarse por 8 y sumarse 1 [cantidad a la que llamaremos W^2] siempre serán un número impar que además es cuadrado perfecto de un número impar la raíz de W^2 [es decir W] siempre será igual al valor máximo de la sumatoria que queremos establecer [X] multiplicado por 2 y sumado 1; esta regla es invariable.  ¿Cómo hallamos la sumatoria de otros números? En ocasiones tanto el algoritmo de aproximación y la ecuación para hallar el valor de la sumatoria arroja raíces no exactas; las sumatorias son cantidades que crecen de manera constante sumadas entre sí y estas raíces arrojan números irracionales, entonces ¿cómo hacemos para establecerlos en términos de sumatoria? Teorema de las Sumatorias [por cristian beltran] Para empezar se postula que todo número real puede ser expresado como resultado de una sumatoria, incluyendo a los números irracionales. Empecemos con los número enteros; digamos por ejemplo que quiero saber que sumatoria  de un número X obtengo una cantidad N  y esta cantidad N no es resultado de la ecuación (x^2 + x)/2; es decir no es sumatoria de enteros consecutivos.  ¿Entonces cómo la expresamos en función de una sumatoria? El algoritmo es el siguiente: Hallamos las sumatorias más cercanas posibles a la cantidad N  en cuestión; por debajo y por encima del número, para lo cual podemos utilizar  el algoritmo de aproximación anterior o la ecuación. expresamos la cantidades N/Q1 [par la sumatoria que es menor a N] y N/Q2 para la sumatoria que es mayor a N hallamos los valores X1 y X2 respectivos a las sumatorias. debemos tener en cuenta que X2 = X1 + 1 por ejemplo; tenemos la cantidad N = 3578 que no es producto de ninguna sumatoria. vamos a utilizar el algoritmo de aproximación; = 84,093143930226402243257710436205 comprobamos este valor con la ecuación siendo esta vez N = Q0 y tenemos 84,094621578443153409266519876859 aproximamos al entero más cercano = 84; que es X1, por lo tanto X2 = 85 reemplazamos 84 en la ecuación (x^2 + x)/2 = 3570 reemplazamos 85 en la misma ecuación = 3655 Dividimos la cantidad N  [ que es igual a Q0] entre las sumatorias Q1 y Q2 y la expresamos como una fracción.  3578/3570 sumatoria de 84 3578/3655 sumatoria de 85 y tenemos 2 sumatorias que obtienen como resultado la misma cantidad; en este caso 3578; por lo tanto podemos establecer la igualdad: 3578/3570 sumatoria de 84 = 3578/3655 sumatoria de 85 N/Q1 SUMATORIA DE X1 = N/Q2 SUMATORIA DE X2 Comprobación: si tenemos N/Q sumatoria de X entonces: N/Q (1) + N/Q (2) + N/Q (3) + N/Q (4) .....  + N/Q (X) FACTORIZAMOS N/Q1: N/Q { 1 + 2 + 3 + 4 .... + X} N/Q {Q1] reducimos el denominador Q1 y esto es = N. En nuestro ejemplo: 3578 = N Q1 = 3570 Q2 = 3655 X1 = 84 X2 = 85 Sumatoria de aproximación por defecto: Para este tipo de sumatoria utilizamos el valor de la sumatoria más cercana menor al número buscado; es decir utilizamos el entero cuya sumatoria sea la más cercana menor al número buscado.  N/Q1 (Sumatoria de X1) 3578/3570 (SUMATORIA DE 84) 3578/3570 (1) + 3578/3570 (2) + 3578/3570 (3) + 3578/3570 (4) .... +3578/3570 (84) Factorizamos: 3578/3570 { 1+ 2+3 +4 + .... +84} 3578/3570 {3570} Reducimos el denominador Sumatoria de 3578/3570 (84) = 3578 En este tipo de sumatoria el coeficiente obtenido N/Q tiene como límite 1 y su aproximación es por defecto; es decir el resultado es siempre >1 y se aproxima infinitamente a 1 (decimos que tiene límite = 1) Sumatoria de aproximación por exceso: Para este tipo de sumatoria utilizamos el valor de la sumatoria más cercana mayor al número buscado; es decir utilizamos el entero sumatoria sea la más cercana mayor al número buscado. N/Q2 (Sumatoria de X2) 3578/3570 (SUMATORIA DE 84) 3578/3570 (1) + 3578/3570 (2) + 3578/3570 (3) + 3578/3570 (4) .... +3578/3570 (84) Factorizamos: 3578/3655 { 1+ 2+3 +4 + .... +85} 3578/3655 {3655} Reducimos el denominador Sumatoria de 3578/3655 (85) = 3578 En este tipo de sumatoria el coeficiente obtenido N/Q tiene como límite 1 y su aproximación es por exceso; es decir el resultado es siempre <1 y se aproxima infinitamente a 1 (decimos que tiene límite = 1) Propiedades: La media aritmética así como el producto de los coeficientes obtenidos en N/Q1 &  N/Q2 es infinitamente cercana a 1; es decir tiene como límite 1 La razón existente entre el valor X (valor del cual se desea calcular su sumatoria) y la raíz de la sumatoria de este mismo X; es decir de raiz de Q [Q^1/2] es infinitamente cercana a la raiz de 2; es decir tenemos como límite raíz de 2 es la misma razón existente entre X^2  y Q es la misma relación entre X [SUMATORIA = A Q]  y el valor de otro número cuya sumatoria sea exactamente igual a 2Q; en este caso lo llamaremos Y, de este modo, si X se obtiene como sumatoria un valor Q de Y se obtiene como sumatoria un valor 2Q y la relación entre  Y/X es infinitamente cercana a raíz de 2.  SOBRE LOS FACTORIALES Teorema de los factoriales por Cristian Beltrán. "Todos los números reales pueden ser expresados como producto de un factorial"  Un factorial es la multiplicación consecutiva de número enteros. ¿existen números que son producto directo de un factorial; y existen otros que no? NO; cualquier número puede ser expresado como función de un factorial  Demostración: Tenemos unos factoriales discretos que son los que todos conocemos; y queremos calcular el factorial de otro número que no tiene un factorial discreto asociado, entonces procedemos a hacer lo siguiente. hallamos el factorial más cercano por debajo y por encima [N! y (N+1)!] Dividimos el número X que deseamos buscar entre [N! y (N+1)!] respectivamente. elevamos el primer cociente X/N! al exponente 1/N elevemos el segundo cociente X/(N+1)! entre el exponente 1/(N+1) por ejemplo; supongamos que deseamos hallar el factorial del número 5000.000 que no tiene un factorial discreto asociado: siguiendo el procedimiento tenemos: factorial más cercano inferior = 10! = 3.628.800 factorial más cercano superior = 11! = 39.916.800 [(5.000.000/3.628.800)^1/10]10! y obtenemos 5.000.000 [(5.000.000/39.916.800)^1/11]11! y obtenemos 5.000.000 es decir tenemos la igualdad:  [(5.000.000/3.628.800)^1/10]10! = [(5.000.000/39.916.800)^1/11]11! Propiedades: el producto de los coeficientes obtenidos es infinitamente cercano a 1; es decir el límite es 1. el cociente obtenido de X/N! es >1 y se acerca infinitamente a 1 en una aproximación por defecto.-  el cociente de X/(N+1)! es <1 y se acerca infinitamente a 1 en una aproximación por exceso