TRATADO SOBRE SUMATORIAS

TRATADO SOBRE SUMATORIAS Cristian Beltrán Barrero Era aún muy joven; casi un niño tenía apenas 7 años cuando descubrí una manera de hacer sumatorias de números sin necesidad de sumarlos individualmente. A diferencia de Gauss no fue por un castigo del profesor sino por iniciativa propia en esa necesidad insaciable de hacer operaciones matemáticas. Mi padre me hacía aprenderme las tablas de multiplicar del 1 al 10; luego del 11 al 20 y luego hasta el 100; aún tenía apenas 4 años y entraba a 1° de primaria, ya sabía realizar las 4 operaciones básicas, a saber suma, resta multiplicación y división; a los 5 años pude deducir por mi cuenta como sacar raiz cuadrada y había descubierto por mi cuenta los triángulos de pascal que me darían la fórmula para extraer la raíz enésima de cualquier número, y sin saberlo estaba haciendo operaciones algebraicas de grado mayor a dos. Mi espíritu investigativo me llevó a varios campos; en ocasiones hacía rodar llantas y objetos de distinta forma por acantilados solo para poder medir su velocidad; pero aunque no tenía reloj, tenía que intuir la medida con una conteo arbitrario como llevando un pulso fijo, que había mecanizado varias veces y que aunque solo usaba variables discretas se aproximaba mucho a la medida real. A los 7 años pude darme cuenta por medio de mis experimentos que indistintamente del peso de un objeto todos caían al suelo a la misma velocidad, probé de la misma forma llenar varias botellas de vidrio que me encontraba con distintos niveles de agua solo para poder obtener sonidos distintos, así creé mi propia fórmula para poder calcular el sonido que daría una botella con relación a otra y crear instrumentos musicales por mi cuenta sin tener idea de conceptos como la afinación temperada  o la afinación pitagórica, pero ya había deducido por mi mismo la estrecha relación entre las matemáticas y la música. Este último experimento me llevaría finalmente por el camino artístico como músico y mi vocación como matemático [empírico] me encontraba calculando cuál sería la nota máxima de afinación para cuerdas de distinto calibre en función de su resistencia (como las de Nylon) su calibre (como las de acero) en una misma longitud; hallando las ecuaciones matemáticas para determinar cuál sería el encordado óptimo para mi guitarra, bajo, charango o instrumento que fuera. Del mismo modo me encontraba calculando cuál sería la longitud exacta para tubos huecos en función de su diámetro para que puedan dar un sonido en una afinación determinada y que otras longitudes en relación a esa obtendría sonidos que sean relación o función del sonido principal si los tubos eran del mismo largo.  Esto me llevó a ampliar mi escala musical de 96 semitonos [actual] a una escala hipotética de 168 semitonos en el que todos tienen una relación íntima y no existe ningún sesgo en la afinación.  Fraccionarios en la Escala Músical Sabemos que existen 7 notas musicales en la escala actual distribuidas en 12 semitonos; igualmente sabemos que la relación matemática entre la octava y la tónica es 2 a 1; es decir que para saber la frecuencia de una misma nota en su octava simplemente multiplicamos la tónica por potencias de 2.; así en la práctica cada vez que queramos encontrar la octava de una nota que da una cuerda o un tubo basta con dividir la longitud de la cuerda o tubo en potencias de 2 [2,4,8,16,32...] La relación entre una nota y su quitan justa es de 3; es decir la tercera parte de la longitud de una cuerda del mismo calibre o de un tubo del mismo diámetro dará como nota máxima la quinta justa de la nota máxima que afine el total de la cuerda o tubo; de esta forma cada vez que queremos encontrar una quinta justa basta con dividir la longitud entre potencias de 3 [3,9,27,81,243...] como saben las potencias de 2 y de 3 no son compatibles; es decir jamás se encuentran y esto ha generado complicaciones en cuanto a unir los dos sistemas de afinación. Sabemos que una octava (cuya razón las potencias de 2) se divide en 12 semitonos [porque existen notas que solo solo tienen un semitono en la escala; por ejemplo en la escala de do mayor que es la más común el mi y él si solo tienen 1 semitono] y que las quintas justas tienen 7 semitonos (cuya razón matemática son las potencias de 3). Ahora en una regla de 3 sencilla; si la quinta tiene 7 semitonos y la octava 12; la diferencia entre ambas (que es considerada como una 4° justa) es de 5 semitono; para que exista compatibilidad el total del espectro debe ser múltiplo del del mismo número de semitonos; esto es 12*7 = 84, sin embargo es menor al espectro utilizado de 96 semitonos; por lo que lo duplicamos y esto nos da 168 semitonos. ¿cómo debemos afinar, medir o cuantificar las notas? Para saber la longitud de una cuerda o tubo, el calibre [o resistencia por ejemplo en, libras de presión] de una cuerda, de un tubo hueco o la masa de un tubo macizo para poder tener todas las notas exactas debemos hacer las siguientes operaciones Indistintamente de la nota madre [que en nuestro ejemplo será Do]: Por octavas: 1° octava = 1/2 de la longitud; es decir queda libre 1/2 2° octava = 1/2 de la 1/2 que es la parte que queda libre; es decir 1/4 de la longitud; queda libre 1/4 3° octava = 1/2 de la parte que queda libre de la 2° octava, que es 1/4; es decir 1/8 de la longitud y queda disponible 1/8 de la longitud de la misma cuerda. Las partes que quedan libres siempre será potencias de la relación 1/2; esto se repite por 7 octavas para un espectro de 84 semitonos y 14 veces para uno de 168 semitonos, es decir [(1/2)^14] Por quintas: 1° quinta = 1/3 de la longitud; es decir queda libre 2/3  2° quinta = 1/3 de la parte que ha quedado libre de la longitu de la cuerda que es 2/3; es decir 2/9 y se han usado 1/3+2/9 = 5/9, quedan libre 4/9 3° quinta = 1/3 de la longitud que ha quedado libre de la parte anterior que es 4/9; esto es igual a 4/27 y se han usado 5/9 + 4/27 = 19/27 y quedan libre 8/27 las partes que quedan libres siempre serán potencias de la fracción 2/3; este proceso se repite por 12 quintas para un espectro de 84 semitonos y 24 veces para un espectro de 168 semitonos; es decir [(2/3]^24] ¿Cómo hacemos compatibles las potencias en base 2 y las potencias en base 3 de los sistemas de afinación por octavas y por quintas justas respectivamente? Aunque parezca muy evidente; la única manera de lograrlo es encontrar mínimos comunes divisores entre ambos; es decir múltiplos que además sean múltiplos de la cantidad de semitonos en cada sistema. El algoritmo es el siguiente:  1° organizar las fracciones de mayor a menor; de las partes que quedan libres para utilizar.  2/3 1/2 ..... 1/16384 16777216/282429536481 para la 1° quinta:  La 1° quinta que es = 1/3 del espacio disponible de la cuerda o tubo [1 - 2/3] debe ser dividido entre el número de semitonos que contienen una quinta justa, esto son 7 semitonos, así debemos tener una cuerda de longitud múltiplo de 3*7 = 21 unidades de medición; cada semitono ocupa un espacio de 1 unidad de medición.  1° octava El espacio disponible es 1/2 [1-/2] el total de longitud; de los cuales debemos usar 1/3 exactamente de la forma que describimos arriba; puesto que la quinta es menor a la octava y se ubica primero, el espacio disponible es la diferencia entre 1/2-1/3 = 1/6, este debe ser dividido entre la diferencia que hay entre la octava de 12 semitonos y la quinta justa de 7 semitonos; es decir 5 semitonos, por lo cual la longitud total debe ser múltiplo de 2*3*5*7=210 unidades de medición. La 1° quinta es 1/3 = 210/3 = 70 unidades de medición; y cada semitono = 70/7 = 10 unidades de medición. La 1° octava es 1/2 = 210/2 = 105 unidades la longitud total y 210/6 = 35 unidades la longitud entre la 5° y la 8°; cada semitono = 35/5 = 7 unidades de medición ubicados entre la 5° y la 8°. 2° quinta = 5/9 de la longitud total [respetando la distribución anterior] ya se han ubicado 5 semitonos dentro de la 1° octava por lo que solo resta ubicar 2 semitonos para los 7 semitonos de cada quinta justa; la longitud debe ser múltiplo de 2*2*3*3*5*7= 1260 unidades de medición [ solo si queremos que cada semitono ocupe una cantidad discreta de unidades de medición]; la 1° quinta ocupa 1/3 y cada semitono de la 1° quinta 1/21; la 1° octava ocupa 1/2 [1/6 entre la quinta y la octava]  y cada semitono 1/30 y los 2 últimos semitonos que completan la segunda quinta ocupan la diferencia entre 5/9-1/2 = 1/18; es decir 1/36 cada semitono. así si verificamos 1260 es múltiplo de 21, 30, y 36. 3° quinta =  19/27 de la longitud total; estas se ubican dentro de la segunda octava y no existen divisiones internas; la longitud total debe ser múltiplo de 2*2*3*3*3*5*7 = 3780 unidades de medición; la 1° quinta ocupa 1/3 = 1260 unidades de medición y cada semitono 1/21 = 180, la 1° octava ocupa 1/6 adicional a la quinta = 630 unidades [para un total de 1890 unidades que es = 1/2] y cada semitono [de la segunda quinta que queda dividida entre las octavas 1° y 2°] ocupa 1/30 = 126 los 2 semitonos de la segunda quinta ocupan 1/36 cada una = 105 unidades [210 en total para una suma de 2100 que es = 5/9] y la tercera quinta ocupa 4/27 = 560 para un total de 2660 unidades que suman 19/27; cada semitono de la 3° quinta ocupa 4/189 = 80 unidades de medición. 2° octava = 1/4 de la longitud total que se suma a 1/2 de la 1° octava para un total de 3/4 de longitud utilizada; se utiliza una longitud múltiplo de 2*2*3*3*3*5*7 = 11.340.  la 4° quinta solo resta usar 3 semitonos; puesto que de los 12 semitonos de la octava ya se han usado 2 para completar la 2° quinta, los 7 semitonos completos de la 3° quinta para un total de 9 semitonos y 3 de la 4° quinta para un total de 12 semitonos, estos 3 semitonos comprenden el espacio entre 3/4 - 19/27 = (81/108- 76/108) = 5/108, es decir 5/324 cada semitono, el resto de las distancias las mismas del enunciado 3  Sobre las sumatorias. Una sumatoria es el resultado de sumar consecutivamente números naturales; así la sumatoria de un número es por ejemplo [1+2+3+4+......+n] las sumatorias vienen representadas por una E mayúscula. Cuando apenas tenía 7 años deduje varias formas de hacer sumatorias de manera simple y me sentí apasionado desde entonces por este tema; pero a diferencia de GAUSS no fue por un castigo del profesor sino por vocación de mi propia curiosidad.  Existen varias formas de resolver sumatorias fácilmente; por ejemplo darse cuenta de que la sumatoria es simplemente el producto del valor máximo por su media aritmética, puede no significar mucho para los matemáticos expertos en el campo, pero es una gran logro para un niño de 7 años; esta media se obtiene sumando 1 al valor máximo [que resulta ser el valor mínimo] y dividiéndolo entre 2; así cualquier sumatoria podía ser resuelta sin ninguna dificultad aplicando esta sencilla fórmula. De esta forma sumatoria de X a la que llameros Q se establece de la siguiente manera: x = valor máximo del que se desea calcular el valor de su sumatoria [ es decir 1+2+3+4+5+6+....+x]  media = [x+1]/2 = y Q = [x]*[y] Ejemplo: Sumatoria de los números consecutivos hasta el número 2345 x = 2345; hallamos la media (Y) Y = [2345+1]/2 = 2346/2 = 1173 TOTAL DE LA SUMATORIA [Q] Q = 2345*1173 = 2.750.685 Desde luego siempre podemos comprobar a mano.... ????  El estudio de las sumatorias me ha llevado a plantear ecuaciones que describen el comportamiento de las sumatorias; y no me tomó mucho tiempo llegar a la siguiente expresión: Sumatoria de X [Q] = (X^2 + x)/2 Ejemplo: Podemos comprobar la sumatoria anterior: X = 2345 para esta ecuación no es necesario hallar su media aritmética; por lo que podemos desarrollarla solo con el valor de X [Q] = {[(2345^2)+2345]/2} [Q] = [(5499025 + 2345)/2] [Q] = (5501370/2) [Q] = 2.750.685 y como hemos visto tenemos una comprobación de ambos métodos.  Estas ecuaciones son válidas para todos los valores, cualquier sumatoria de números puede calcularse por medio de estas ecuaciones. ¿como saber que cantidades son productos de una sumatoria? Inicialmente pensaba que sólo ciertas cantidades eran producto de una sumatoria; ahora podemos demostrar que cualquier cantidad puede expresarse como resultado de una sumatoria; y esto es válido para todos los números reales. para poder comprobarlo he desarrollado algoritmos de aproximación para demostrar este teorema; al igual que he adaptado las ecuaciones algebraicas existentes para polinomios de 2°, 3°, 4° y 5° grado, entre otros mecanismos matemáticos.  Algoritmos para saber si un número puede ser obtenido por medio de una sumatoria Inicialmente haci uso de un algoritmo sencillo para determinar qué valores eran producto de una sumatoria; sin embargo este algoritmo no es exacto y solo permite tener una aproximación del valor real; aun así es sumamente eficiente y práctico, razón por la que no es descartado, pues su eficiencia procedimental permite hacer cálculos rápidos y aproximaciones muy cercanas al valor real del valor real X. El algoritmo consiste en establecer una cantidad [Q] de la que quiero saber si es resultado de una sumatoria luego multiplicar esta cantidad por 2; obtener la  raíz cuadrada de este valor y luego restar 1/2. [2Q]^1/2 = [V0] [V0] - 1/2 = [V1] [V2] = aproximación al entero más cercano El algoritmo permite un resultado muy aproximado del valor X con un pequeño sesgo [que es muy molesto para nosotros los matemáticos acostumbrados a los valores exactos] sin embargo me permitió desarrollar luego las ecuaciones correspondientes.  Dentro de las fallas del algoritmo está que en ocasiones los productos no tienen raíces exactas por lo que solo se basa en aproximaciones; y una cuando la raíz es exacta siempre existe un sesgo en la aproximación.  Por otra parte, la eficiencia del algoritmo se encuentra en que permite hacer cálculos rápidamente y esto es bastante útil; además la aproximación es muy cercana al valor [X] que buscamos.  El límite del valor real es raiz de 2; es decir si dividimos la cantidad X [que es valor de la cual obtenemos la sumatoria Q] entre la raíz de [Q] el límite en el al infinito es raiz de 2; por lo que algoritmo se basa en el concepto de límite y no es una conjetura. lÍMITE DE {X/ (Q = )^1/2} = 2^½   y esto es así para todas las sumatorias Comprobación del algoritmo y del límite.  Así por ejemplo una cantidad Q = 210 puedo calcular si es producto de una sumatoria o al menos aproximarse a este valor por medio de este algoritmo:  {2[210]}^1/2 = {420}^1/2 = 20,493901531919196766442077361042 [V] = 20,493901531919196766442077361042 - 1/2 [v1] = 19,993901531919196766442077361042 [v2] = 20 El siguiente paso del algoritmo es utilizar la cantidad entera más cercana; es decir en este caso [y en la gran mayoría] realizamos una aproximación por exceso.  (20^2 + 20)/2 = (400 + 20)/2 = 420/2 = 210 y como hemos visto el algoritmo me permite establecer una aproximación muy precisa.  Ecuaciones: Las ecuaciones siempre son tan bienvenidas como los algoritmos; si los algoritmos representan una serie de pasos la ecuación es la estandarización de los algoritmos más eficientes; la ecuación para determinar si un número es resultado de una sumatoria de primer grado se obtiene modelando a nuestro beneficio la típica ecuación de 2 grados: {-b (+o-) [(b^2)- 4ac]^1/2}/2a Sabemos que nuestra fórmula es: (x^2 + x)/2 = Q (resultado de la sumatoria) Factorizando para eliminar el denominador 2: 2(x^2 + x)/2 = 2Q  x^2 + x = 2Q  igualando a 0 x^2 + x - 2Q = 0 al reemplazar los coeficientes: a =1 b = 1 c = -2 tenemos: {-1 (+/-) [(1^2)-4*1*-2]^1/2}/2*1 -1/2 (+/-) {[1 + 8Q]^1/2/2} de este solo tomamos el valor positivo que es el que nos interesa: -1/2 + {[1 + 8Q]^1/2/2} y podemos establecer las siguientes igualdades: todas las sumatorias al multiplicarse por 8 y sumarse 1 [cantidad a la que llamaremos W^2] siempre serán un número impar que además es cuadrado perfecto de un número impar la raíz de W^2 [es decir W] siempre será igual al valor máximo de la sumatoria que queremos establecer [X] multiplicado por 2 y sumado 1; esta regla es invariable.  ¿Cómo hallamos la sumatoria de otros números? En ocasiones tanto el algoritmo de aproximación y la ecuación para hallar el valor de la sumatoria arroja raíces no exactas; las sumatorias son cantidades que crecen de manera constante sumadas entre sí y estas raíces arrojan números irracionales, entonces ¿cómo hacemos para establecerlos en términos de sumatoria? Teorema de las Sumatorias [por cristian beltran] Para empezar se postula que todo número real puede ser expresado como resultado de una sumatoria, incluyendo a los números irracionales. Empecemos con los número enteros; digamos por ejemplo que quiero saber que sumatoria  de un número X obtengo una cantidad N  y esta cantidad N no es resultado de la ecuación (x^2 + x)/2; es decir no es sumatoria de enteros consecutivos.  ¿Entonces cómo la expresamos en función de una sumatoria? El algoritmo es el siguiente: Hallamos las sumatorias más cercanas posibles a la cantidad N  en cuestión; por debajo y por encima del número, para lo cual podemos utilizar  el algoritmo de aproximación anterior o la ecuación. expresamos la cantidades N/Q1 [par la sumatoria que es menor a N] y N/Q2 para la sumatoria que es mayor a N hallamos los valores X1 y X2 respectivos a las sumatorias. debemos tener en cuenta que X2 = X1 + 1 por ejemplo; tenemos la cantidad N = 3578 que no es producto de ninguna sumatoria. vamos a utilizar el algoritmo de aproximación; = 84,093143930226402243257710436205 comprobamos este valor con la ecuación siendo esta vez N = Q0 y tenemos 84,094621578443153409266519876859 aproximamos al entero más cercano = 84; que es X1, por lo tanto X2 = 85 reemplazamos 84 en la ecuación (x^2 + x)/2 = 3570 reemplazamos 85 en la misma ecuación = 3655 Dividimos la cantidad N  [ que es igual a Q0] entre las sumatorias Q1 y Q2 y la expresamos como una fracción.  3578/3570 sumatoria de 84 3578/3655 sumatoria de 85 y tenemos 2 sumatorias que obtienen como resultado la misma cantidad; en este caso 3578; por lo tanto podemos establecer la igualdad: 3578/3570 sumatoria de 84 = 3578/3655 sumatoria de 85 N/Q1 SUMATORIA DE X1 = N/Q2 SUMATORIA DE X2 Comprobación: si tenemos N/Q sumatoria de X entonces: N/Q (1) + N/Q (2) + N/Q (3) + N/Q (4) .....  + N/Q (X) FACTORIZAMOS N/Q1: N/Q { 1 + 2 + 3 + 4 .... + X} N/Q {Q1] reducimos el denominador Q1 y esto es = N. En nuestro ejemplo: 3578 = N Q1 = 3570 Q2 = 3655 X1 = 84 X2 = 85 Sumatoria de aproximación por defecto: Para este tipo de sumatoria utilizamos el valor de la sumatoria más cercana menor al número buscado; es decir utilizamos el entero cuya sumatoria sea la más cercana menor al número buscado.  N/Q1 (Sumatoria de X1) 3578/3570 (SUMATORIA DE 84) 3578/3570 (1) + 3578/3570 (2) + 3578/3570 (3) + 3578/3570 (4) .... +3578/3570 (84) Factorizamos: 3578/3570 { 1+ 2+3 +4 + .... +84} 3578/3570 {3570} Reducimos el denominador Sumatoria de 3578/3570 (84) = 3578 En este tipo de sumatoria el coeficiente obtenido N/Q tiene como límite 1 y su aproximación es por defecto; es decir el resultado es siempre >1 y se aproxima infinitamente a 1 (decimos que tiene límite = 1) Sumatoria de aproximación por exceso: Para este tipo de sumatoria utilizamos el valor de la sumatoria más cercana mayor al número buscado; es decir utilizamos el entero sumatoria sea la más cercana mayor al número buscado. N/Q2 (Sumatoria de X2) 3578/3570 (SUMATORIA DE 84) 3578/3570 (1) + 3578/3570 (2) + 3578/3570 (3) + 3578/3570 (4) .... +3578/3570 (84) Factorizamos: 3578/3655 { 1+ 2+3 +4 + .... +85} 3578/3655 {3655} Reducimos el denominador Sumatoria de 3578/3655 (85) = 3578 En este tipo de sumatoria el coeficiente obtenido N/Q tiene como límite 1 y su aproximación es por exceso; es decir el resultado es siempre <1 y se aproxima infinitamente a 1 (decimos que tiene límite = 1) Propiedades: La media aritmética así como el producto de los coeficientes obtenidos en N/Q1 &  N/Q2 es infinitamente cercana a 1; es decir tiene como límite 1 La razón existente entre el valor X (valor del cual se desea calcular su sumatoria) y la raíz de la sumatoria de este mismo X; es decir de raiz de Q [Q^1/2] es infinitamente cercana a la raiz de 2; es decir tenemos como límite raíz de 2 es la misma razón existente entre X^2  y Q es la misma relación entre X [SUMATORIA = A Q]  y el valor de otro número cuya sumatoria sea exactamente igual a 2Q; en este caso lo llamaremos Y, de este modo, si X se obtiene como sumatoria un valor Q de Y se obtiene como sumatoria un valor 2Q y la relación entre  Y/X es infinitamente cercana a raíz de 2.  SOBRE LOS FACTORIALES Teorema de los factoriales por Cristian Beltrán. "Todos los números reales pueden ser expresados como producto de un factorial"  Un factorial es la multiplicación consecutiva de número enteros. ¿existen números que son producto directo de un factorial; y existen otros que no? NO; cualquier número puede ser expresado como función de un factorial  Demostración: Tenemos unos factoriales discretos que son los que todos conocemos; y queremos calcular el factorial de otro número que no tiene un factorial discreto asociado, entonces procedemos a hacer lo siguiente. hallamos el factorial más cercano por debajo y por encima [N! y (N+1)!] Dividimos el número X que deseamos buscar entre [N! y (N+1)!] respectivamente. elevamos el primer cociente X/N! al exponente 1/N elevemos el segundo cociente X/(N+1)! entre el exponente 1/(N+1) por ejemplo; supongamos que deseamos hallar el factorial del número 5000.000 que no tiene un factorial discreto asociado: siguiendo el procedimiento tenemos: factorial más cercano inferior = 10! = 3.628.800 factorial más cercano superior = 11! = 39.916.800 [(5.000.000/3.628.800)^1/10]10! y obtenemos 5.000.000 [(5.000.000/39.916.800)^1/11]11! y obtenemos 5.000.000 es decir tenemos la igualdad:  [(5.000.000/3.628.800)^1/10]10! = [(5.000.000/39.916.800)^1/11]11! Propiedades: el producto de los coeficientes obtenidos es infinitamente cercano a 1; es decir el límite es 1. el cociente obtenido de X/N! es >1 y se acerca infinitamente a 1 en una aproximación por defecto.-  el cociente de X/(N+1)! es <1 y se acerca infinitamente a 1 en una aproximación por exceso