Apuntes de la Clase de Análisis Económico del Derecho en la Universidad Nacional de Colombia II

Taller Nivelatorio Matemáticas  Apuntes de la Clase de Análisis Económico del Derecho en la Universidad Nacional de Colombia Cristian Beltrán Barrero A partir de las propiedades básicas de los números, muestran que: (−a) ∙ (−b) = a ∙ b En las propiedades de signos, al multiplicarse o dividirse, signos iguales obtienen resultado positivo (+) signos contrarios da negativo (-) como en este caso ambos son negativos, el resultado de ambas multiplicaciones (dentro de los número reales) es positiva.  Imaginemos una recta numérica en donde se traza un vector, si el vector es de signo positivo avanza en la misma dirección de los vectores anteriores (si es el caso) por el contrario si el vector es de signo negativo retrocede, es decir avanza en forma contraria a la dirección del vector anterior.  Trazas un primer vector con signo positivo y decides avanzar hacia la derecha,  esto sería la magnitud a luego trazas un segundo vector con signo positivo esto sería la magnitud b, entonces al encontrarse los dos vectores ¿en qué dirección avanzamos? como ya dijimos, si es positivo continuas en la misma dirección, por lo que sigues hacia la derecha, es decir en sentido positivo. Imagines el caso contrario y trazas un primer vector en sentido negativo y decides avanzar esta vez hacia la izquierda, esto sería la magnitud -a luego trazas un segundo vector también con signo negativo esto sería la magnitud -b, entonces al encontrarse los dos vectores ¿En qué dirección avanzamos? como ya dijimos, si el vector es negativo se cambia la dirección del vector anterior, y como el vector anterior se dirigía hacia la izquierda, entonces este nuevo vector debe avanzar hacia la derecha, es decir en sentido positivo. Como ves en ambos casos terminan avanzando hacia la derecha en sentido positivo.  Teniendo en cuenta que si f y g son dos funciones cualesquiera, definimos una nueva función f ∘ g, la composición de f y g por (f ∘ g)(x) = f(g(x)) El dominio de f ∘ g es {x: está en el dominio de g y g(x) está en el dominio de f}. Encuentre f ∘ g para:  f(x) = x2; g(x) = √x  - {x: está en el dominio de g y g(x) está en el dominio de f}. El dominio de xes todos los reales positivos  f(x) = lnx; g(x) = ex {x: está en el dominio de g y g(x) está en el dominio de f} El dominio de x son todos los reales positivos mayores a 1, ya que 0 no tiene logaritmo natural ni los nùmero negativos y aun cuando Euler se eleve a 0 el resultado es 1.  f(x) = lnx; g(x) = x2 {x: está en el dominio de g y g(x) está en el dominio de f} El dominio de x son todos los reales positivos mayores a 0 ya que 0 no tiene logaritmo natural. Encontrar el dominio de las siguientes funciones:  f(x) = √1 − x2. El dominio son todos los reales comprendido entre -1 y 1.   f(x) = ´(1/(x-1))+(1/(x-2))El dominio son todos los reales, tanto positivos como negativos excepto 1 y 2. f(x) = √1 − x + √x − 2 Para la primera ecuaciòn el dominio son todos los reales menores a 1 incluyendo 1, para la segunda todos los reales mayores a 2 f(x) = ln⁡(1 − x) El dominio son todos reales menores a 1 sin incluir el 1 Realice las gráficas de las siguientes funciones:  f(x) = xn para n = 1,2,3,4,5  f(x) = x2 + x  f(x) = x3 − 3x  f(x) = 1/x f(x) = 1/x2 f(x) = 1/(1+x)2  f(x) = ln⁡(x)  f(x) = ex  f(x) = |x|  Halle los siguientes límites:  limx→1 (x2−1)/(x+1)  Al resolverlo por el mètodo de diferencia de cuadrados ((x + 1)(x-1))/(x+1) El lìmite es 0 (x2−1)/(x-1) = ((x + 1)(x-1))/(x-1) eliminamos (x + 1) del numerador y del denominador (x - 1) = 0 limx→1 (x2−1)/(x-1)  Al resolverlo por el mètodo de diferencia de cuadrados ((x + 1)(x-1))/(x+1) El lìmite es 2 (x2−1)/(x-1) = ((x + 1)(x-1))/(x-1) eliminamos (x-1) del numerador y del denominador (x + 1) = 2 Sea f(x) = (x2 - 4)/(x - 2) Encuentre una función F de dominio R tal que F(x) = f(x) para todo x del dominio de f.  El numerador (x2 - 4) corresponde a una diferencia de cuadrados (x + 2)(x - 2) Podemos reducir/factorizar el denominador (x - 2), al hacer esto obtenemos como resultado el numerador (x + 2) (x + 2) Determine si f(x) = |x|/x es continua.  La funciòn de valor absoluto |x|/x siempre tendrá el calor 1, por lo tanto es continua.  Para cada una de las siguientes funciones, decidir cuáles están acotadas superior o inferiormente en el intervalo indicado, y cuáles de ellas alcanzan sus valores máximo o mínimo.  f(x) = x2 en (−1,1).  El valor será siempre 1 en ambos casos f(x) = x3 en (−1,1).  Los valores serán -1 y 1 f(x) = x2 en R. El valor mínimo será 0 y el máximo infinito  f(x) = x2 en [0,∞).  El valor mínimo será 0 y el máximo infinito. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:  f(x) = 5x4 − 3x3 + x2 − 12x + 7  20x3 − 9x2 + 2x − 12  f(x) = 3ex(x2 − 1)  Sacamos la constante que va a multiplicar todo el resultado de la derivada 3 d/dx ex(x2 − 1)  Multiplicamos la derivada del primer tèrmino por el segundo sin derivar. ex(x2 − 1)  Sumamos el primer término sin derivar por la derivada del segundo término.  ex2x Expresamos el resultado  d(dx = 3* ( ex(x2 − 1) + ex2x) f(x) = 1/(x-1) Debido a que el numerador es 1, podemos optar por derivar directamente sin recurrir a la regla de la cadena, en este sentido, cuando derivamos un denominador lo efectuamos de manera similar a un numerador con exponente negativo. (x-1)-1 -(x-1)-2 -1/(x-1)-2 f(x) = ln⁡(x)  La derivada de un logaritmo natural (en base euler) es la unidad dividiendo a dicho nùmero.  1/x  f(x) = ex  La derivada de euler es euler ex f(x) =1/x2 Como el numerador no es un polinomio sino una constante, derivamos del mismo modo que el ejercicio anterior de fracciones, el denominador directamente. -2(1/x3) = - 2/x3 f(x) = (1 - x)/x2 Cuando se trata de polinomios de la forma (a - x)/xn existen formas reducidas de hallar la respuesta, en este caso se deriva directamente el denominador - para omitir el proceso de la regla de la cadena - y se multiplica por el numerador. 2((1- x)/x3) Aunque parezca contraintuitivo, la soluciòn de este tipo de ecuaciones se multiplican las constantes y al hacer toda la operaciòn x queda casi siempre de la misma forma, esto es porque el realizar todo el procedimiento de la regla de la cadena los distintos valores de x se elimina entre sí, esto es cierto para cualquier valor de la constante que resta, que en este caso es 2.   (2 - x)/x3 Teniendo en cuenta la regla de la cadena: Si g es derivable en a, y f es derivable en g(a), entonces f ∘ g es derivable en a, y (f ∘ g)′(a) = f′(g(a)) ∙ g′(a). Encuentre la derivada de las siguientes funciones: f(x) = e−x  la derivada de euler siempre serà euler con la diferencia que al ser el exponente negativo euler queda con valor negativo.  - e−x  f(x) = e5x`2  En este caso tenemos un producto, de una potencia elevada a otra potencia por lo que hay que derivar dos veces, la primera se deriva euler con todos su exponentes y la segunda solo se deriva  el exponente. e5x`2  10x El resultado debe expresarse en forma de producto de ambos tèrminos: e5x>210x f(x) = ln⁡(3x − 2x3)  Para los polinomias de la forma ln(axn + bxm) la solución se presenta de la forma d/dx (axn + bxm) / (axn + bxm) es decir, al derivar un logaritmo natural se divide todo el polinomio entre la unidad, y que da dicho polinomio sin derivar como el denominador, mientras que la derivada del polinomio pasa a ser el numerador (3 − 6x2) /(3x − 2x3)  Se aplica para cualquier derivada de la forma ln(ax) =  d/dx(ax) / (ax)