Taller Análisis Económico del DerechoApuntes de la Clase de Análisis Económico del Derecho en la Universidad Nacional de Colombia 15-05-2019
La pendiente presupuestaria puede hallarse fácilmente mediante la ecuación: x + y = 40 Las permutaciones posibles de las canastas pueden hallarse mediante la ecuación ax + by = 40 Y conociendo los valores de x = 1; y = 2, tenemos: a + 2b = 40 Para despejar cualquier valor posible de a o de b dentro de la ecuación simplemente despejamos: a = 40 - 2b 2b = 40 - a =>b = (40 - a)/2 Los valores de a solo pueden estar entre 0 y 40 mientras que los de b entre 0 y 20 cada uno de ellos inversamente proporcional al otro, mientras a = 0; b = 20 y mientras b = 0; a = 40. La curva de utilidad viene definida por: f = (a*b) La proporción entre a y b es inversamente proporcional a la proporción entre x e y. Mientras la proporción de x con respecto a y viceversa es: x=1; y = 2 x=1/2y y=2x La proporción de a con respecto a b y viceversa en su punto de máximo valor sería: Proporción a = 2b Proporción b = 1/2a Para hallar una función de utilidad f = 150; 300dentro de una restricción presupuestaria de 40 simplemente debemos hallar dos números a y b cuyo producto sea 150, o 300 teniendo en cuenta las restricciones de valores máximos y mínimos que tienen a y b y cuya suma teniendo en cuenta las proporciones entre a y b es decir la suma de a +2b (x + 2y) sea en ambos casos = 40. Para ello podemos hacer uso de diversos métodos, cabe advertir que dichas cantidades pueden ser números racionales como irracionales, aunque por razones de practicidad generalmente las cantidades se miden en números enteros, lo que simplifica el cálculo. Por ejemplo podemos establecer una tabla de valores para cantidad de a y b con sus respectivos valores de x y y que al ser multiplicados establezcan la función de utilidad. Otra forma también pudo haber sido descomponer 150 entre sus divisores. y luego buscar permutaciones en dos de ellos que al sumarse la forma a + 2b = 40 y al multiplicarse fueran iguales en ambos casos a 150.
Para lograr este nivel de utilidad, se debe desplazar la restricción presupuestaria o disminuir los precios de los productos. Teniendo la función de utilidad f = (xy)y sabiendo que las cantidades de XY son inversamente proporcionales a las cantidades ab, entonces la función de utilidad también puede ser expresada de la forma: f = ab Teniendo presente las proporciones: Proporción a = 2b Proporción b = 1/2a Podemos también expresar: f = a*1/2a f = 2b*b Y esto es: f = a2/2 f = 2b2 Al despejar los radicales: ⎷f = a/2 ⎷f = 2b Y finalmente al despejar los divisores y multiplicadores: ⎷2f = a (⎷f/2) = b De este modo si queremos hallar los valores de a y b para f = 300en esta ecuación simplemente despejamos: ⎷2*300 = a ⎷300/2 = b Esto es: ⎷600 = a ⎷150 = b Y como la restricción presupuestaria, bajo este supuesto en donde los precios son inmutables sigue estando definida por P=a+ 2btenemos: P=⎷600+ 2⎷150 Al convertir el la expresión 2b tenemos: 2⎷150=⎷(4*150) ⎷600 Entonces la nueva restricción presupuestaria viene definida por la suma: P=a+ a; (ya que a = 2b) P=2a P=2⎷600 P=⎷[600*4] P=⎷2400 Y al descomponer 2400 (sin sustraerlo del radical) P=⎷25 * 3 * 52 P=2*2*5⎷2*3 P= 20⎷6 Bajo esta nueva restricción presupuestaria, el producto de los valores a = ⎷600 y b = ⎷150alcanza su máximo valor y son iguales a 300, comprobemos: a = ⎷600 y b = ⎷150 f = ⎷[600* 150] f = ⎷[90.000] f = 300
Como el precio de los duraznos x = 1 y el precio de los bananos y = 2 la tasa marginal de sustitución o pendiente viene determinada por x/y es decir las cantidades de x con respecto a las cantidades de y, dicha tasa es: T.M.S = 8/50 T.M.S = 4/25 Que puede expresarse como, se necesitan 25 bananos para obtener 4 duraznos.
Maximizar U(x,y) = xy s.a.3x + 2y = 45 Igual que en ejercicio anterior, podemos determinar varias cosas: Restricción Presupuestal = 45 La restricción presupuestal viene determinada por: x + y = 45 ax + by = 45 Las proporciones de las cantidades en su máximo valor son: 3a + 2b = 45 Puede interpretarse como si el precio de x = 3; y = 2, por lo tanto x solo puede tomar valores entre 0 y 15, mientras que y toma valores entre 0 y 22,5. En este orden de ideas solo debemos encontrar 2 numeros, cuya proporción entre ellos y/x = 3/2 o x/y = ⅔ entre los valores posibles de x e y de tal suerte que al sumarlos sean 45 y este será nuestro punto máximo de la función. Esto es muy sencillo, pues el valor máximo de la función xy siempre viene determinada por el punto medio de ambos, e igual que en el ejemplo anterior (aunque no se mencionó) los valores pueden ser hallados directamente de la función. Recordemos el ejemplo anterior x + 2y = 40 basta con multiplicar los coeficientes (1*2) y dividirlos de la restricción presupuestal para hallar uno de los valores (40/2 = 20) y como y sólo puede tomar valores entre 0 y 20 y para el caso de y = 20; x = 0 entonces solo podemos ubicar 20 en el eje x y hallar luego el eje y despejando la ecuación: 20 + 2y = 40 2y = 40 - 20 2y = 20 y = 20/2 y = 10 En este caso, como los coeficientes son 3 y 2; podemos simplemente establecer una división directa de (3*2) así podemos encontrar directamente uno de los números. x = 45/6 x = 7,5 Ahora despejamos y: 3x + 2y = 45 3(7,5) + 2y = 45 22,5 + 2y = 45 2y = 45 - 22,5 2y = 22,5 y = 22,5/2 y = 11,25 Entonces si observamos, la relación entre 11,25/7,5 es de 3/2 la parte cubierta por x o por y es exactamente el punto medio de la restricción presupuestal, cada una cubre para este caso 22,5, esto nos da otra forma de hallar dichos valores: 3x + 2y = 45 Como cada variable debe cubrir la mitad: 3x = 22,5 2y = 22,5 Y al resolverlo: x = (22,5)/3 y = (22,5)/2 Despejando: x = 7,5 y = 11,25 Comprobemos con una tabla de valores para 3x + 2y = 45 Finalmente la función ha obtenido un valor de f = 84,375para comprobar definitivamente que este es el máximo valor alcanzable dentro de la función, procederemos de la siguiente forma: La función f = xyes un área, una superficie es decir un cuadrado, como los valores máximos alcanzados por la variable x = a; y = b el producto de los coeficiente ab determina el área total dentro del plano cartesiano, y la tangente, recta o pendiente trazada por la función 3x + 2y = 45 divide justamente esa área en dos mitades iguales, el triángulo inferior corresponde al área que medimos y el resto a todos los valores por fuera de nuestra restricción presupuestal, entonces el ´’área del triángulo cortado por la pendiente es exactamente la mitad del cuadrado establecido por los valores ab. Como ya establecimos anteriormente el punto máximo se alcanza en los valores medios de ax e by (o ab) y esto es: Punto máximo alcanzado = 1/2 de a Punto máximo alcanzado = 1/2 de b Y al multiplicar (1/2)*(1/2) = 1/4 Esto significa ¼ parte del área total definida por ab que es el doble del triángulo definido por la función ax + by = p Como los valores máximos alcanzados por x e y (a y b) son 15 y 22 ½ respectivamente para este ejemplo, entonces el área total de ab = 15*22 ½ = 337 ½ del mismo modo el valor máximo de la función f = xyes: ab = 15*22,5 ab = 337,5 f (xy) = (337,5)*1/4 f (xy) = 337,5/4 f (xy) = 84,375 Y de este modo hemos comprobado el valor máximo de la función y establecido 4 maneras diferentes de hallar el mismo resultado.
Si el precio de x>20% pasando de 3 a 3,6 y manteniendo la misma restricción presupuestaria, resolvemos entonces la nueva área f = xy 3,6x + 2y =45 Resolviendo x 3,6 x = 22,5 x = 22,5/3,6 x = 6,25 Resolviendo y 2y = 22,5 y = 22,5/2 y = 11,25 Hallando el área xy f = 11,25 * 6,25 f = 70,3125 Comprobando con el área de ab Máximo valor de a = 45/3,6 Máximo valor de a = 12,5 Máximo valor de b = 45/2 Máximo valor de a = 22,5 Área ab = 12,5 * 22,5 Área ab = 12,5 * 22,5 Área ab = 281,25 f(xy) = 281,25/4 f(xy) = 70,3125
QUE ES LA CANASTA FAMILIAR La canasta familiar es la cantidad de alimentos y productos básicos que necesita una familia de N número de personas para vivir de forma saludable o al menos, con la calidad mínima. Esta se usa para determinar el costo de la vida de una familia promedio. Existen dos aspectos con lo cuales la canasta familiar se encuentra íntimamente relacionada, los sueldos generales de las personas y el IPC ((Índice de Precios al Consumidor) Comenzaremos por el aspecto más simple, que es el nexo con los sueldos. Aquí podemos observar una relación meramente directa en la teoría. Es decir, que si los productos contenidos dentro de dicha canasta aumentan, deberían aumentar los sueldos de las personas, puesto que directamente aumenta su costo de vida. Respecto al IPC, sabemos que es uno de los principales indicadores de la situación económica actual de país, ya que representa la variación de los precios de los bienes y servicios para los hogares colombianos. Es por ello que permite de igual modo observar la evolución de los diferentes rubros que componen la canasta familiar. El ente encargado de constituir la canasta básica familiar es el DANE, (Departamento Nacional de Estadísticas). Para ello realiza encuestas periódicas con el fin de determinar los gastos diarios de cada miembro del hogar y sobre los gastos semanales, mensuales semestrales, anules del mismo. A partir de esto se concluye el patrón de consumo general para los hogares, permitiendo seleccionar la canasta básica como su peso promedio en el gasto del hogar. En la actualidad la canasta familiar colombiana fija está conformada por 405 artículos, repartidos entre los siguientes rubros: Alimentos, Vivienda, Vestuario, Salud, Educación, Cultura y Esparcimiento. No obstante, se espera que en lo que queda de 2010 o a principios de 2011, el DANE anuncie (tal como lo confirmó) la adhesión 18 nuevos productos. Los mismos serían: lechona, pollo asado, carne asada, arroz chino, las cuotas de administración en los conjuntos residenciales, los seguros de vehículos, los celulares, los potenciadores sexuales, las cuotas moderadoras de EPS y ARS, los minutos de celular que se compran en la calle y los pagos por los servicios de guardería y sala-cuna, entre otros. A continuación, la actual canasta familiar colombiana:
El costo de vida de los colombianos, según la nueva metodología del Dane, se ubicó en 0,60 % para enero de 2019, es decir, tres puntos básicos menos en comparación con el mismo período de 2018, la más baja desde enero de 2014. Por otra parte, la variación anual fue de 3,15 % comparada con enero de 2018, cuando se ubicó en 3,68 %. Artículos que ingresan a la canasta familiar
Artículos que salen de la canasta familiar
¿Qué novedades va a tener esa nueva canasta familiar? En la encuesta de ingresos y gastos de 2006-2007, 42,3 % de los hogares decían que iban a comer a un restaurante, en 2016-2017 ese promedio subió a 72,7 %. En cine, hace 10 años, 3,4 % de los hogares iban a cine, 10 años después es el 7,3 %. Hace 10 años, 30 % de los hogares decían que sacaban de su bolsillo para pagar internet, ahora 70 % señala que lo hace. ¿Qué otros cambios han detectado? Hace 10 años, en la canasta promedio, 23 % de los gastos se iban para el arriendo o la cuota del crédito hipotecario; hoy esto es de 29 %, por los planes de masificación de la vivienda que lleva a que más gente tenga casa propia. Otro cambio importante está en el rubro de restaurantes y hoteles, antes sólo 16 % del sueldo de las personas se iba a este rubro, ahora es 19 %, lo que significa que hay unos cambios estructurales en los patrones de consumo en los cuales los ponderadores van a cambiar. Ya no les vamos a poder dar a los gastos de alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles una participación de 23 % dentro de la canasta promedio, sino que será de 28,7%. Seguramente, va a ser entre 31 y 32 % para el colombiano de clase alta y 18 y 19 % para el de clase baja. Lo otro que vamos a hacer es que ya no se va a hablar de ingresos medios, bajos o altos, sino de clases sociales. ¿Cómo ha evolucionado la composición de los hogares? El tamaño promedio se redujo completamente. Los hogares de la encuesta 2006-2007 tenían en promedio 3,8 personas y en la de 2016-2017 es sólo 3,3 personas. Antes era papá, mamá y dos hijos; ahora es papá, mamá, un hijo o mascota. ¿Cuál es el costo actual de la canasta familiar? Lo que gastan los colombianos pobres, vulnerables, de clase media y alta, al mes, en su canasta familiar, vale $27 billones y el gasto promedio por hogar de hoy (3,3) es de $1,9 millones al mes, mientras que las 3,8 personas de hace 10 años gastan, a precios de hoy, $1,8 millones. Eso indica que el poder adquisitivo de los colombianos se ajustó estructuralmente, es decir, mejoró en términos reales 27 % en 10 años. ¿Cuáles son los productos que más adquieren los colombianos? Huevos crudos de gallina y arroz seco, lo cual quiere decir que lo que más consumen los hogares es arroz con huevo en una proporción de 80 %. El 70 % de los colombianos gastan en pan, 67 % come carne de res, otro tanto menor pollo; 64 % de los ciudadanos están gastando en aceite para freír los huevos, hacer el arroz o freír papa. El 63 % de los hogares están gastando en papa y 50 % de los hogares nacionales toman agua de panela. ¿Qué cosas fuera del hogar están entrando en la nueva canasta familiar? La encuesta reflejó que 72 % de los hogares están comiendo fuera de la casa. El 62 % se come un corrientazo, 40 % un sándwich o una empanada y 34 % está desayunando fuera de casa. ¿Cómo han sido los cambios en información y comunicaciones? En la encuesta encontramos que 46 % de los hogares disponen de dinero para el pago de internet fijo, sólo 43 % tiene una línea telefónica fija, 38 % destina dinero para recargas de telefonía celular en 19,6 % hay planes de voz y 11,7 % compra celulares inteligentes y accesorios. Cascos protectores para motocicletas 8’313.954 motos registradas en el país hasta diciembre de 2018, según el Registro Único Nacional de Tránsito (RUNT). Durante enero de 2019 se registraron 47.798 motos, es decir, hubo un aumento del 13,9 % respecto al mismo período de 2018, según un informe de la Asociación Nacional de Movilidad Sostenible (Andemos). Este significativo aumento en el uso de la motocicleta se evidenció durante la medición en los gastos y patrones de consumo de los colombianos. En Bogotá, en los últimos 10 años se triplicó la cantidad de motos matriculadas, al pasar de 140.485 a 468.000. El DANE evidenció ese boom, razón por la que incluyó los cascos protectores para motocicleta en la canasta. Un colombiano promedio tiene un casco protector certificado que le costó $250.000, pero en el mercado nacional se consiguen desde $50.000 hasta $700.000, dependiendo de la marca. También se debe tener en cuenta que por moto, minimo, hay un casco, pero ella tiene uno adicional. Mascotas “En Colombia existen más de 3’500.000 hogares con mascotas, de los cuales el 67 % tienen perro, el 18 % gato y 16 % tienen ambos. También se evidenció un precio medio mayor, algo que se debe al segmento de gatos, que fortaleció su cuota de mercado. Ahora, su precio por gramo es 30 % más costoso que el de perros”, reveló Miguel de la Torre, director de nuevos negocios de Kantar Worldpanel. El valor de este mercado en 2017 fue de $623’215.300, lo que significa un crecimiento de 16 % con respecto a 2016. El mercado de alimentos para perros tuvo una evolución de 12 % y el de gatos de 28 %. Servicios de “streaming” La Encuesta Nacional de Presupuesto también permite identificar un antes y un después. La cantidad de personas que componen una familia ha cambiado en los últimos 10 años y al menos el 14 % de los hogares son unipersonales. En la canasta familiar anterior se incluía el alquiler de películas, pero ahora ingresaron los servicios de streaming. Este es otro de los gastos de un colombiano promedio quien paga $32.900 al mes por el servicio premium de su plataforma, en la que puede ver series y películas ilimitadas en varios dispositivos al tiempo y en HD. Deloitte desarrolló un estudio sobre patrones de consumo móvil en el país y el resultado indicó que el 28 % de los encuestados usa el celular para ver películas o series de TV por streaming. Además, el informe Tendencias Consumer 2019, de Llorente & Cuenca, revela que uno de los servicios que seguirán en auge es el de streaming. Tarifa para fútbol cinco Los precios de alquiler de estas canchas oscilan entre $50.000 y $140.000 por hora. Por ejemplo, si un grupo de 10 amigos paga $120.000 por hora dos veces a la semana, lo que serían $960.000 al mes para ese servicio de entretenimiento, por lo que cada uno aporta $96.000 mensuales. La consolidación de todos los cambios se da luego de 10 años y justo varios meses después de que la misma entidad estadística presentará la ENPH (Encuesta Nacional de Presupuestos de los Hogares), que reveló que la canasta familiar del país es muy diferente a la de hace una década, en buena parte porque los ingresos y gastos de los ciudadanos han ido mutando. Esto llevó al Gobierno a incrementar de 9 a 12 los grupos que conforman la estructura del índice de precios al consumidor (IPC), “dándole una mayor desagregación respecto a la estructura actual”, según el Dane. Ahora, las variaciones registradas mes a mes considerarán, por aparte, los gastos en bienes y servicios que se presentan en restaurantes y hoteles, equipamiento del hogar (amoblamiento y adecuación), recreación y cultura, y bebidas alcohólicas y tabaco. La nueva lista también modificará las contribuciones de cada rubro al IPC colombiano, ya que, por ejemplo, el gasto en alimentos ya no tiene el mismo peso como hace dos lustros, en tanto que la destinación a servicios públicos se ha incrementado considerablemente. En dicha encuesta se reveló, por ejemplo, que casi se duplicó el porcentaje de hogares que reportó tener gastos en comida en restaurantes, pues pasó de ser el 42,3% en el 2007 a más de 72% en el 2017. De igual forma sucedió con el rubro de cine y teatro, que pasó de ser consumido por 390.000 hogares a más de un millón.
Vamos a resolver por método algebraicos: Para determinar el cambio o la variación en el tiempo de f1 a f2 analizaremos las 2 ecuaciones de manera simultánea. f1 = 2x + 5y f2 = 3√x + 4y Significa esto que los precios se desplazaron en cada variable en el caso de x se desplazó de 2x a 3√x en el caso de y se desplazó de 5y a 4y como hubo un desplazamiento, significa que hubo variación o estabilidad relativa en los precios, aún no hemos analizado la elasticidad general. Para el caso de x Elasticidad = variación de 2x a 3√x Para el caso de y Elasticidad = variación de 5x a 4y Como ya hemos advertido antes, existen distintas -diversas formas de llegar a una misma conclusión, en este caso probaremos uno de los tanto métodos algebraicos: Igualamos la restricción presupuestaria a : 2x + 5y = 0 3√x + 4y =0 Despejamos y: 5y = 0 - 2x 4y =0 -3√x y =(-2x)/5 y =(-3√x)/4 Igualamos ambas ecuaciones: 2x + 5y = 3√x + 4y 2x +5y -4y - 3√x = 0 2x +y - 3√x = 0 y = -2x + 3√x Al ser una función cuadrática el dominio de la función está representado por todos los reales positivos iguales o mayores a 0, debido al radical √x lo restante es encontrar los dos puntos donde convergen las 3 funciones. Vamos a calcular el desplazamiento relativo de cada variable asumiendo que inician sobre un punto de partida, para ello asignamos una restricción presupuestal arbitrario por ejemplo = 1 y en ambos casos hallando el máximo de la función f = xymediante el método anterior: 2x + 5y = 1 3√x + 4y =1 2x = 0,5 + 5y = 0,5 3√x = 0,5 + 4y =0,5 x = (0,5)/2 + y = (0,5)/5 √x =( 0,5)/3 + y =(0,5)/4 x = 0,25 + y = 0,1 √x =0,1666... + y =0,125 x = 0,25 + y = 0,1 x =1/6 elevado a 2... + y =0,125 x = 0,25 + y = 0,1 x =1/36. + y =0,125 En este caso, como podemos observar los precios se han desplazado, en el caso de x de ¼ (0,25) a 1/36 (0,2777…) y en el caso de y de 1/10 (0,1) a ⅛ (0,125). Mediante este método hemos podido determinar cuánto ha sido el movimiento en cada variable, es decir la elasticidad relativa de x e y para poder luego determinar la elasticidad general: Elasticidad relativa x = - 1 + (1/36)/(1/4) Elasticidad relativa x = -1 + (4/36) = -1 +1/9 Elasticidad relativa x = - 8/9 Es negativa porque la variación fue de mayor a menor. Elasticidad relativa y = (1/8)/(1/10) Elasticidad relativa y = (10/8) = 5/4 Es positiva porque la variación fue de menor a mayor. Elasticidad general = 5/4 - 8/9 Elasticidad general = (45 - 32)/36 Elasticidad general = 13/36 Elasticidad general = 0,36111... Ahora vamos a calcular el desplazamiento relativo las dos variables combinadas sobre una restricción presupuestal pero bajo el supuesto que sus precios son iguales, para ello asignamos arbitrariamente un valor a cada variable por ejemplo x =1; y = 1 probemos: 2(1) + 5(1) = 7 3√1 + 4(1) =7 Mediante este método hemos podido determinar una restricción presupuestal con precios que genera equilibrio para ambas funciones, en este caso no es posible determinar la elasticidad. Probemos con x = 4; y = 4 y evaluemos cómo se comporta la restricción presupuestal: 2(4) + 5(4) = p 3√4 + 4(4) p 8 + 20 = 28 3*2 + 16 =p 8 + 20 = 28 6 + 16 =22 Este método nos permite evaluar bajo un mismo estándar de precios, como varía la restricción presupuestal y por ende la elasticidad, en este caso p ha variado negativamente de 28 a 22 por lo tanto: Elasticidad = (22/28) - 1 Elasticidad = (11/14) - 1 Elasticidad = - 3/14 Por supuesto este y el anterior son análisis desde perspectivas distintas y a haber una función cuadrática la elasticidad es exponencial y elevada en el tiempo (t) de este modo, por ejemplo si analizamos con x = 9, y = 9 la elasticidad sería exponencialmente diferente con respecto a la de x = 4; y = 4 a pesar de que los precio aumentaron en la misma proporción: 2(9) + 5(9) = p 3√9 + 4(9) p 18 + 45 = 63 3*3 + 36 =p 8 + 20 = 63 9 + 36 =45 Variación de p = (45/63) - 1 V.p = 5/7 - 1 V.p = - 2/7 Finalmente vamos a analizar cómo se comporta la restricción presupuestaria, si mantenemos una de las dos igualada a 1 y resolvemos la otra ecuación con los valores de la primera, miremos: 2x + 5y = 1 3√x + 4y =p Para la primera ecuación se había determinado que: x = 0,25 + y = 0,1 Suplantamos los mismo valores en la ecuación 2: x = 0,25 + y = 0,1 2(1/4) + 5(1/10) = 1 3√1/4 + 4(1/10) =p 2/4 + 5/10 = 1 3(1/2) + 4/10 =p 1/2 + 1/2 = 1 3/2 + 2/5 =(15 + 4)/10 1/2 + 1/2 = 1 3/2 + 2/5 =19/10 Y como puede observarse hubo un desplazamiento del presupuesto, este desplazamiento corresponde a: Variación = 19/10 Comprobemos una última combinación de ecuaciones: 2x + 5y = p 3√x + 4y =1 Para la segunda ecuación se había determinado que: x = 1/36 + y = 1/8 Suplantamos los mismo valores en la ecuación 1: x = 1/36 + y = 1/8 2(1/36) + 5(1/8) = p 3√1/36 + 4(1/8) =1 2/36 + 5/8 = p 3(1/6) + 4/8 =1 1/18 + 5/8 = p 3/6 + 1/2 =1 1/18 + 5/8 =( 8 + 90)/144 3/6 + 1/2 =1 1/18 + 5/8 =98/144 1/2 + 1/2 =1 1/18 + 5/8 =49/72 1/2 + 1/2 =1 En este caso el desplazamiento sigue siendo positivo porque se realiza de menor a mayor, este desplazamiento equivale a: Desplazamiento = 1/1/49/72 Variación = 72/49
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domingo, 9 de enero de 2022
Apuntes de la Clase de Análisis Económico del Derecho en la Universidad Nacional de Colombia III
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